W zadaniach tych mamy dane funkcje tworzące momenty i mamy użyć ich, by obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję. Aby rozwiązać te zadania, należy skorzystać z wiedzy, iż M'(0) = EX (pierwsza pochodna z M(t) obliczona dla t=0) oraz M''(0) = E[X^2].
W tych zadaniach korzystamy z dwóch twierdzeń. Pierwsze mówi, że funkcje tworzące momenty są jednoznaczne - jeśli dwie zmienne X, Y mają takie same funkcje tworzące momenty, to mają też taki sam rozkład.
Drugie mówi, że jeśli Y = X_1 + X_2 + … + X_n to M_Y(t) = M_{X_1}(t) * M_{X_2}(t) * … *M_{X_n}(t)
Wystarczy więc w każdym z tych zadań sprawdzić, jak zachowuje się iloczyn odpowiednich funkcji tworzących i porównać go z tezą zadania.
Musimy najpierw obliczyć gęstość zmiennych X_k^2. Potem zauważyć, że każda z tych zmiennych ma rozkład Gamma z parametrami b=\frac{1}{2\sigma^2} , p = \frac{1}{2} . Dopiero potem, tak jak w zadaniach 3,4,5, zastosować twierdzenie o mnożeniu funkcji tworzących momenty.
Gęstość obliczymy, różniczkując dystrybuantę
S=X^2 , F_S = P(X^2 \gt t) = P(-\sqrt{t} \gt X \gt \sqrt{t}) = F_X(\sqrt{t}) - F_X(-\sqrt{t})
f_S = \frac{1}{2\sqrt{t}}f_X(\sqrt{t}) + \frac{1}{2\sqrt{t}}f_X(-\sqrt{t}) = \frac{1}{\sqrt{t}}f_X(\sqrt{t}) = Gamma(\frac{1}{2\sigma^2},\frac{1}{2})
Funkcja tworząca momenty rozkładu Gamma to (1-\frac{t}{b})^{-p}
Sam nie umiem tego zrobić. Ostrzegę tylko, żeby nie próbować obliczać funkcji tworzących momenty - takie podejście zadziałałoby tylko wtedy, gdybyśmy wiedzieli, co z sumy tych zmiennych otrzymali i jedynie potrzebowali dowodu. A z samej funkcji tworzącej momenty gęstość zgadnąć niezwykle trudno.
Podpunkt a możemy załatwić albo całkując całkę p-q razy przez części, albo lepiej podstawiając y=1-x, dy=-dx Podpunkt b robimy, całkując wszystko raz przez części i korzystając z równości ze wskazówki.
Można albo przez indukcję, albo też przez zrobienie zadania 10 (i sprawdzenie osobnego przypadku dla p,q = 0, jeśli uznamy 0 za liczbę naturalną)
Rozpisujemy wskazówki:
\Gamma(p)\Gamma(q) = \int_0^{\infty} \int_0^{\infty} x^{p-1} y^{q-1} e^{-x-y} dx dy
Teraz będziemy podstawiać, jak we wskazówce
x=s(1-t), y= st. Jakobian będzie równy (1-t) * (s) - t*s = s. Zakres wynosi [0,\infty] dla s i [0,1] dla t całka wygląda dalej:
\int_0^{\infty} \int_0^1 (s(1-t))^{p-1} st^{q-1} e^{-s(1-t)-st} s dt ds = s traktujemy w wewnętrznej całce jako stałą
= \int_0^{\infty} s^{p-q-1} e^{-s(1-t)-st} \int_0^1 (1-t)^{p-1} t^{q-1}dt ds
Zauważamy teraz, że całka po t to po prostu B(p,q). Dodatkowo, możemy teraz całkę podwójną zamienić na iloczyn całek. A na koniec, że całka po s to \Gamma(p+q) Więc otrzymujemy:
\int_0^{\infty} s^{p-q-1} e^{-s(1-t)-st} \int_0^1 (1-t)^{p-1} t^{q-1}dt ds = \Gamma(p+q) * B(p,q)
A stąd już widać tezę zadania.
Dyskusja
Hmmm… w zeszłym roku ta lista była prawie taka sama. Jak ktoś chce coś więcej, niż tylko wskazówki (czyt. gotowe rozwiązania), to może zajrzeć do odpowiedniego tematu.