Analiza numeryczna (M) - Egzamin 2010

Egzamin 2010

1. wzór Simpsona jest dokładny dla wielomianów stopnia drugiego.
2. x^3 jest funkcją nieparzystą.
3. całkując przez podstawianie można zmienić zakres całkowania.

\int^{1}_{-1}p_{3}(x)dx = \int^{1}_{-1}(a_{3}x^{3} + p_{2}(x))dx = \int^{1}_{-1}a_{3}x^{3}dx + \int^{1}_{-1}p_{2}(x)dx = \int^{1}_{-1}p_{2}(x)dx

Indukcja po k.

• Baza:

a^{(1)}_{ij} = a^{(1)}_{ji} - z treści zadania.

• Założenie:

a^{(k)}_{ij} = a^{(k)}_{ji}

• Dowod:

a^{(k)}_{ij} = a^{(k-1)}_{ij} - (\frac{a^{(k-1)}_{i,k-1}}{a^{(k-1)}_{k-1,k-1}} \cdot a^{(k-1)}_{k-1,j}) = a^{(k-1)}_{ji} - (\frac{a^{(k-1)}_{j,k-1}}{a^{(k-1)}_{k-1,k-1}} \cdot a^{(k-1)}_{k-1,i}) = a^{(k)}_{ji} - bo tak sie eliminuje w metodzie gaussa, na przykladzie widac.

1. a^{(k-1)}_{ij} = a^{(k-1)}_{ji} - z założenia
2. a^{(k-1)}_{k-1,k-1} = a^{(k-1)}_{k-1,k-1} - to samo
3. a^{(k-1)}_{i,k-1} \cdot a^{(k-1)}_{k-1,j} = a^{(k-1)}_{j,k-1} \cdot a^{(k-1)}_{k-1,i} bo a^{(k-1)}_{k-1,j} = a^{(k-1)}_{j,k-1} i a^{(k-1)}_{i,k-1} = a^{(k-1)}_{k-1,i} - z założenia.

Przy dużych macierzach liczymy prawie dwa razy mniej pierdolników.

• http://mediawiki.ilab.pl/index.php/MN08#Metoda_Jacobiego.
• Rozwiązanie foo.