Analiza numeryczna (M) - Lista 6.

Rozwiązania różne Edhella z listy 6.

Lemat (zad. 6.1.1 z Kincaida): Jeśli g interpoluje f w x_0, x_1, \cdots, x_{n-1}, a h w x_1, x_2, \cdots, x_n, to g(x) + \frac{x_0-x}{x_n-x_0}[g(x)-h(x)] interpoluje f we wszystkich wspomnianych węzłach (a te nawiasy kwadratowe to tylko nawiasy, a nie operator).

Lematodowód:

• w(x_0) = g(x_0) + 0\cdot [\cdots]
• w(x_1) = g(x_1) + \frac{\cdots}{\cdots}\cdot 0
• w(x_2) = g(x_2) + \frac{\cdots}{\cdots}\cdot 0
• \vdots
• w(x_{n-1}) = g(x_{n-1}) + \frac{\cdots}{\cdots}\cdot 0
• w(x_n) = g(x_n) + \frac{x_0-x_n}{x_n-x_0}[g(x_n)-h(x_n)]=g(x_n)-[g(x_n)-h(x_n)]=h(x_n)

Dalszy ciąg jest w Kincaidzie pod tw. 6.2.1. Rozpisanie z definicji nieco wyżej podanej, daje jakoś tak:

\displaystyle \sum_{k=0}^nf[x_0,x_1,\cdots,x_n]\prod_{j=0}^{k-1}(x-x_j)=\sum_{k=1}^nf[x_1,x_2,\cdots,x_n]\prod_{j=1}^{k-1}(x-x_j)+\frac{x-x_n}{x_n-x_0}[\sum_{k=1}^nf[x_1,x_1,\cdots,x_n]\prod_{j=1}^{k-1}(x-x_j)-\sum_{k=0}^{n-1}f[x_0,x_1,\cdots,x_{n-1}]\prod_{j=0}^{k-1}(x-x_j)].

Dalej to chyba widać, co jest do wycięcia.

Hmm… ilorazem różnicowyyym? Tabelka wychodzi taka:

Wielomian interpolacyjny wyjdzie więc postaci: p(x)=1+3(x+2)+2(x+2)(x+1)-(x+2)(x+1)x. No i hmm, chyba nie skłamię, jeśli powiem, że te zera w ostatniej kolumnie mówią, że błąd przybliżenia wynosi 0, więc jest to dokładny wynik, a że akurat wyszedł wielomian III stopnia, to odpowiadamy: TAK!