X_n \sim \Gamma(n,b). \displaystyle M_{X_n}(t) = \left(1 - \frac{t}{b}\right)^{-n}
Niech U_i \sim \mathrm{Exp}(b) i niech U_i będą iid.
Niech \displaystyle V_n = \sum_i U_i.
\displaystyle M_{V_n}(t) = M_{U_1}(t)M_{U_2}(t)\cdots M_{U_n}(t) = \left( (1 - \frac{t}{b})^{-1}\right)^n = M_{X_n}(t)
A zatem X_n = V_n.
Średnia rozkładu \mathrm{Exp}(b) to \frac 1 b a zatem z prawa wielkich liczb \displaystyle \overline U_n = \frac {X_n} n \rightarrow \frac 1 b.
Niech X_n \sim \chi^2(n) \sim \Gamma(n/2, 1/2).
X_n jest sumą n niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie gamma, więc z CLT jest asymptotycznie rozkładem normalnym.
\mu = \frac {n/2} {1/2} = n.
\sigma^2 = \frac {n/2} {(1/2)^2} = 2n.
A_i \sim \mathrm{U}(-1/2; 1/2).
\displaystyle S_n = \sum_i A_i \sim \; ?
Niech B_{i,n} = n \cdot A_i. Oczywiście S_n = \overline B_{i,n}.
\displaystyle M_{A_i}(t) = \frac{\mathrm{e}^{t(1/2)}-\mathrm{e}^{t(-1/2)}}{t( (1/2)-(-1/2))} = \frac{\mathrm{e}^{t/2}-\mathrm{e}^{-t/2}}{t}
\displaystyle M_{B_{i,n}}(t) = M_{A_i}(nt) = \frac{\mathrm{e}^{nt/2}-\mathrm{e}^{-nt/2}}{nt}
Zatem B_{i,n} \sim \mathrm{U}(-n/2; n/2)
\mu_B = \frac 1 2 (-n/2 + n/2) = 0.
\sigma^2_B = \frac 1 {12} (n/2 + n/2)^2 = \frac {n^2} {12}.
Z CTL S_n = \overline B_{i,n} daży do rozkładu normalnego ze średnią \mu_B i wariancją \frac {\sigma_B^2} {n}. QED.
Lemat
Jeśli U \sim U(0,1) i F(x) jest dystrubuantą ciągłej zmiennej losowej X, to F^{-1}(U) ma taki sam rozkład, jak zmienna X, gdzie F^{-1}(u) = \inf\;\{x \mid F(x)=u, 0<u<1\}.
Dowód
\Pr(F^{-1}(U) \leq x)
{} = \Pr(U \leq F(x)) \quad \text{(aplikując }F,\text{ które jest monotoniczne, do obydwu stron)}
{} = F(x)\quad \text{(ponieważ }\Pr(U \leq y) = y,\text{ co wynika z tego, że }U\text{ ma rozkład jednostkowy jednostajny)}
Będąc uzbrojeni w ten lemat, możemy znaleźć generator o dowolnym rozkładzie, a w szczególności wykładniczym:
F(x) = 1 - e^{\lambda x}.
G(u) = \displaystyle F^{-1}(u) = -\frac{\ln(1-u)}{\lambda}
Zauważmy, że jeśli U ma jednostajny rozkład, to 1 - U również ma jednostajny rozkład. Zatem nasz generator można uprościć:
\displaystyle G(u) = -\frac{\ln(u)}{\lambda}