Okay, w skrócie będzie:
Zał że R \cup S = RS = T
zwrotność banalna
aTb \Rightarrow aRb \vee aSb. zał, bsdo, to pierwsze. Więc dla p=a jest: bRa \wedge aSa \Rightarrow (b,a) \in RS \Rightarrow bTa.
przechodniość: aTb \wedge bTc \Rightarrow (aRb \vee aSb) \wedge (bRc \vee bSc) \Rightarrow (aRb \wedge bRc) \vee (aRb \wedge bSc) \vee (aSb \wedge bSc) \vee (aSb \wedge bRc) \Rightarrow aRc \vee aTc \vee aSc \vee aTc \Rightarrow aTc.
W drugą stronę: zał że R \cup S \neq RS \Rightarrow dwa przypadki:
\exists (a,b) \in R \cup S \wedge (a,b) \not\in RS \Rightarrow (aRb \vee aSb) \wedge (\forall p. \neg aRp \vee \neg pSb) \Rightarrow (…)\wedge (\neg aRa \vee \neg aSb) \wedge (\neg aRb \vee \neg bSb) \Rightarrow (aRb \vee aSb) \wedge \neg aRb \wedge \neg aSb \Rightarrow sprzeczność.
Niech T = R \cup S i załóżmy, że T jest równoważnością. Wtedy (a,b) \in RS \wedge (a,b) \not\in T \Rightarrow (\exists p. (aRp \wedge pSb)) \wedge (a,b) \not\in T \Rightarrow (\exists p. (aTp \wedge pTb)) \wedge \neg aTb \Rightarrow aTb \wedge \neg aTb \Rightarrow sprzeczność.
TR \cup ST. Zaufanie przede wszystkim.
