Na \color{green}{zielono} zmienne wolne, na \color{red}{czerwono} zmienne związane. Zakres występowania czerwonych to do końca nawiasu, jeżeli jesteśmy już w jakimś nawiasie lub do końca wyrażenia, jeżeli nie jesteśmy.
a) (\forall \color{red}{x}.\exists \color{red}{y}. P(\color{red}{x},\color{red}{y})) \rightarrow ( ( \forall \color{red}{y} . Q ( \color{green}{x}, \color{red}{y} ) ) \vee \exists \color{red}{x}. R(\color{red}{x},\color{green}{y}))
b) (\forall \color{red}{x}. P(\color{green}{x},\color{green}{y},\color{red}{z})) \rightarrow \exists \color{red}{z} . \exists \color{red}{y}. Q(\color{green}{x},\color{red}{y},\color{red}{z}) \wedge \forall \color{red}{z}. R(\color{green}{x},\color{green}{y},\color{red}{z})
\forall z . (\forall x . P(x,y,z) ) \rightarrow \exists y . Q(x,y)
a) \forall z . (\forall x . P(x,y,z) ) \rightarrow \exists y . Q(x,y)
b) \forall z . (\forall x . P(x,y,z) ) \rightarrow \exists y . Q(x,y)
c) \forall z . (\forall x . P(x,y,z) ) \rightarrow \exists w . Q(y+x,w)
d) \forall z . (\forall x . P(x,b,z) ) \rightarrow \exists y . Q(z+x,y)
a) |x| \geq 1 czyli W = (-\infty, -1]\cup [1, \infty )
b) W = [0,1]
c) W = \emptyset
a)
def \exists w . \exists v . x = w*w + v*v
b)
def \forall n .\exists p . p > n \wedge 2*n > p \wedge P(p) na wykladzie zdefiniowaliśmy P(x) oraz >.
c)
def \forall n . \exists o . o > n
a) nie
Istnieją takie x,y, konkretnie x=b,y=c, że \exists z .P(x,y) \rightarrow P(y,z) jest nie prawdziwe, bo P(x,y) jest prawdziwe, a nie istnieje takie z, żeby spełnić tą formułę.
b) tak
Bo dla każdego możliwego drugiego argumentu P, dla których P jest prawdziwe, istnieje taki argument, że jak drugi argument przestawimy na pierwsze miejsce, to formuła będzie spełniona.
a) tautologia
b) tautologia
c)
P(x) \leftrightarrow x \geq 0
Q(x) \leftrightarrow x < 0
d)
P(x,y) \leftrightarrow y = 2
Nie chce mi sie w TeXu na wiki, bez styli, jeszcze nie zwariowałem.
hexd( 0 ) = 0
hexd( 1 ) = 1
hexd( 2 ) = 2
hexd( 3 ) = 3
hexd( 4 ) = 4
hexd( 5 ) = 5
hexd( 6 ) = 6
hexd( 7 ) = 7
hexd( 8 ) = 8
hexd( 9 ) = 9
hexd( A ) = 10
hexd( B ) = 11
hexd( C ) = 12
hexd( D ) = 13
hexd( E ) = 14
hexd( F ) = 15
hex( 0xhexdig ) = hexd( hexdig )
hex( hexnum\; hexdig ) = 16*hex( hexnum) + hexd( hexdig )
S \rightarrow aAa
A \rightarrow B | aAa
B \rightarrow \epsilon | Bb
F_1( S ) = 2 + F_1( A )
F_1( A ) = F_1( B ) jeśli A \rightarrow B
F_1( A ) = 2 + F_1( A_2 )) jeśli A \rightarrow aA_2a
F_1( B ) = 0 jeśli B \rightarrow \epsilon
F_1( B ) = 1 + F_1( B_2) jeśli B \rightarrow B_2b
F_2( S ) = aaF_2( A )
F_2( A ) = F_2( B ) jeśli A \rightarrow B
F_2( A ) = aaF_2( A_2 ) jeśli A \rightarrow aA_2a
F_2( B ) = \epsilon jeśli B \rightarrow \epsilon
F_2( B ) = aaF_2( B_2 ) jeśli B \rightarrow B_2b