Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - Lista 5.
- Zadanie 1
- Zadanie 2
- Zadanie 3
- Zadanie 4
- Zadanie 5
- Zadanie 6
- Zadanie 7
- Zadanie 8
- Zadanie 9
- Zadanie 10
- Zadanie 11
Dyskusja

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - Lista 5.

Zadanie 1

E[\frac{1}{X+1t}] = \sum_{k=0}^{n} {\frac{1}{k+1}{n\choose k}p^{k}q^{n-k}} = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n{{n+1}\choose {k+1}}p^{k}q^{n-k}} = \frac{1}{n+1} \sum_{k=1}^{n+1}{{n+1}\choose {k}}p^{k-1}q^{n+1-k} = \frac{1}{(n+1)p} \sum_{k=1}^{n+1}{{n+1}\choose {k}}p^{k}q^{n+1-k} = \frac{1^{n+1}-{{n+1}\choose 0}q^{n+1}}{(n+1)p} = \frac{1-(1-p)^{n+1}}{(n+1)p}

Zadanie 2

Szukamy takiego i, dla którego P(X=i) jest jak największe. Okazuje się, że będzie tak dla i=λ. Dlaczego? Rozkład Poissona ma następującą gęstość:

\frac{\lambda^k}{k!e^{\lambda}}

Zatem:

Dopóki i jest mniejsze, licznik rośnie cały czas o λ, a mianownik o czynnik mniejszy niż λ - zatem licznik rośnie szybciej.
Kiedy i osiągnie wartość λ, mianownik zaczyna stopniowo rosnąć o czynniki większe od λ - najpierw λ+1, potem λ+2 itd. Licznik rośnie dalej tak, jak rósł - czyli o λ - już wolniej niż mianownik.
Zatem maksymalną wartość wyrażenie przyjmie dla i=λ (oraz dla i=λ-1).
Jeśli λ nie jest liczbą naturalną, to prawdopodobieństwo będzie rosnąć do podłogi z λ.

Zadanie 3

Cała sztuczka polega na tym, by zauważyć, że dla k=0 całe wyrażenie znajdujące się pod sumą wynosi zero, więc możemy sumować od razu od jedynki. Potem tylko przesuniemy granicę sumowania o jeden w dół.

E[X^n] = \sum_{k=0}^\infty k^n * \frac{\lambda^k}{k!*e^{\lambda}} = e^{-\lambda}\sum_{k=1}^\infty k^n * \frac{\lambda^k}{k!} = \lambda*e^{-\lambda}\sum_{k=1}^\infty k^{n-1} * \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} = \lambda*e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty (k+1)^{n-1} * \frac{\lambda^k}{k!} = \lambda * E[(X+1)^{n-1}]

I jeszcze:

E[X^2] = \lambda E[X+1] = \lambda(E[X] + 1) = \lambda (\lambda +1)

E[X^3] = \lambda E[(X+1)^2] = \lambda E(X^2+2X+1) = \lambda (E[X^2]+2*E[X]+1) = \lambda(\lambda (\lambda+1) + 2\lambda + 1)

Zadanie 4

\sum_0^{\infty} \frac{k!{\lambda}^k}{k!e^{\lambda}} = \frac{1}{e^{\lambda}} * \sum_0^{\infty} \lambda^k = \frac{1}{e^{\lambda}(1-\lambda)}

Zadanie 5

Tak jak kiedyś różniczkowaliśmy szereg geometryczny, by, przemnażając przez k cały ciąg, otrzymać wzór na wartość oczekiwaną rozkładu geometrycznego, tak teraz będziemy całkować, by podzielić cały szereg przez k.

\sum_{k=1}^{\infty}(1-p)^{k-1}*p*\frac{1}{k} = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(1-p)^k}{(1-p)}*p*\frac{1}{k} = \frac{p}{q}\sum_{k=1}^{∝} \frac{(q)^k}{k}

Całkujemy wzór na szereg geometryczny:

\int \frac{1}{1-q} dq= -\log(1-q) = -\log(p)

Teraz możemy podstawić wynik całkowania za sumę

\frac{p}{q}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(q)^k}{k} = \frac{p}{q} *(-\log(p)) = \frac{-p\log(p)}{1-p}

Zadanie 6

I^2 = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2 + y^2)/2}dx dy

Tutaj trzeba znać czarną magię (zwaną też przez niektórych analizą 2)

Aby podstawić

x = r*cos(\theta) ; y=r*sin(\theta)

Musimy zrobić dwie rzeczy. Pierwszą jest policzenie wartości bezwzględnej z wyznacznikaMacierzy Jacobiego.

\begin{vmatrix}
({rcos\theta})'_r & ({rcos\theta})'_\theta\\
({rsin\theta})'_r & ({rsin\theta})'_\theta
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
cos\theta & -rsin\theta\\
sin\theta & rcos\theta
\end{vmatrix} = rcos^2\theta + rsin^2\theta = r(cos^2\theta+sin^2\theta) = r

Drugą rzeczą jest zmiana granic całkowania. Ponieważ r to promień, może przyjmować wartości od 0 do nieskończoności. Zaś kąt może przyjmować wartości od 0 do 2π. Całka będzie miała postać

I^2 = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{2\pi} e^{-r^2(cos^2(\theta) + sin^2(\theta))/2}r d\theta dr = I^2 = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{2\pi} e^{-r^2/2 * 1}r d\theta dr = \int_{0}^{\infty} 2\pi e^{-r^2/2}r dr = 2\pi*[- (e^{\frac{(-r^2)}{2}})]_0^{\infty} = 2\pi

Zadanie 7

Z tego, że f jest gęstością wynika, że

\int_0^1 a+bx^2 = a+ \frac{b}{3} =^{def} 1

Wartość oczekiwana podana została w treści zadania

\int_0^1 ax+bx^3 = \frac{a}{2}+ \frac{b}{4} =^{def} 0.6

Gdy rozwiążemy układ dwóch równań otrzymamy:

b = 1.2, a= 0.6

Pierwsza całka odpowiada bodaj przypadkowi, gdy x<y, a druga przeciwnemu. Nie gwarantuję w 100%, że są poprawne, ale robione są właśnie na taką modłę.

\int_0^{0.5} \int_{0.5}^{x+0.5} f(x,y)dydx + \int_{0.5}^{1} \int_{x-0.5}^{0.5} f(x,y) dydx