Lista 3.
Krysicki i in. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka cz. 1, Rozdział 5.
Wybrać takie C, by podwójna całka z gęstości, dla przedziału [0,1]x[0,2] dała 1 (sprawdzić kiedy zachodzi równość \int_0^2 \int_0^1 \! {Cxy + x + y} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x = 1).
Let's do the math:
\int_0^2 \int_0^1 {Cxy + x + y} \, dy \, dx =
\int_0^2 \left[ \frac{1}{2} Cx^2 y + \frac{1}{2}x^2 + xy \right]_0^1 \, dy =
\int_0^2 \frac{1}{2} Cy + \frac{1}{2} + y \, dy =
\left[ \frac{1}{4} Cy^2 + \frac{1}{2} y + \frac{1}{2}y^2 \right]_0^2 =
C + 1 + 2 = C+3
Aby C+3 = 1, C = -2.
edited by ozzy fuck yea:
musi być też f(x,y) >= 0
f(2,1) = -2 * 2 * 1 + 2 + 1 = -4 + 3 = -1 < 0 \Rightarrow f(x,y) nie może być gęstością.
Całka prawie taka sama, jak w poprzednim zadaniu, więc nie rozpisuję.
\int_0^2 \int_0^1 {Cxy + x} \, dy \, dx = C+2
Oczywiście
C = -1
Teraz musimy policzyć gęstości brzegowe
f_1(x) = \int_0^1 {Cxy + x} \, dy = \frac{-x}{2} + x = \frac{x}{2}
f_2(y) = \int_0^2 {Cxy + x} \, dx = -2y+2
Teraz sprawdzamy czy
f(x,y) = f_1(x)f_2(y)
Owszem:
\frac{x}{2} * (-2y+2) = -xy + x
Zatem zmienne są niezależne.
