Treść zadania: Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem 4. Znaleźć rozkład zmiennej losowej Y = 3X + 4. Obliczyć gęstość Y.
Zmienna X ma rozkład wykładniczy z parametrem 4, zatem jej gęstość f(x) = 4e^{-4x} dla x \geq 0, dystrybuanta F(t) = \int_0^t f(x) dx. Mamy znaleźć rozkład Y, czyli jej dystrybuantę G(y) lub gęstość g(y). Łatwiej nam wyznaczyć gęstość.
G(y) = P(Y \leq y) = P(3X + 4 \leq y) = P(X \leq \frac{y-4}{3}) = F(\frac{y-4}{3})
g(y) = G'(y) = \big(F(\frac{y-4}{3})\big)' = f(\frac{y-4}{3}) \cdot \frac{1}{3} \quad y \geq 4