Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - Lista 6.

Lista 6.

Różnica między zmienną X, a X^2 jest taka, że trzeba posumować prawdopodobieństwa zdarzeń, w których wypadają liczby z przeciwnym znakiem - wszak ich kwadraty będą takie same.

Zmienna losowa ma rozkład X=\frac{1}{2^n}. Znaleźć rozkład zmiennej Y=\sin(0.5*\pi*x).

Y=1 wtedy, gdy \sin(0.5*\pi*x) = 1 czyli dla x=\frac{\pi}{2} + 2k\pi)
Y=0 wtedy, gdy \sin(0.5*\pi*x) = 0 czyli dla x=0 + k\pi)
Y=-1 wtedy, gdy \sin(0.5*\pi*x) = -1 czyli dla x=\frac{3\pi}{2} + 2k\pi)

Zatem mamy trzy sumy

P(Y=1) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^{4k+1}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^5} + \ldots = \frac{8}{15}

P(Y=0) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{2k}} = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^4} + \ldots = \frac{5}{15}

P(Y=-1) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{4k+3}} = \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^7} + \ldots = \frac{2}{15}

Na podstawie notatek własnych z wykładu 2010-11-09.

Zmienna X ma gęstość f(x) = \frac{1}{\sqrt {2 \pi}} \exp\{-\frac{1}{2} x^2\}

Zmienna Y jest określona Y = 3 X + 1, jej gęstość mamy policzyć ( g(y) = ? )

Badamy jaki rozkład ma zmienna Y względem zmiennej X, na podstawie ich dystrybuant.

Różniczkujemy stronami powyższe wyrażenie i otrzymujemy

Ta \frac{1}{3} wzięła się z pochodnej cząstkowej: F_X' \left(\frac{u-1}{3} \right) = f_x(\frac{u - 1}{3}) * (\frac{u - 1}{3})' = \frac{1}{3} f_x(\frac{u - 1}{3})

f_x(x) = 3 \exp\{ -3x \}

Y = X^2

F_X(u) = P(X < u)

F_Y(u) = P(Y < u) = P(X^2 < u) = P(X < \sqrt{u}) = F_X(\sqrt{u})

Różniczkujemy stronami równanie F_Y(u) = F_X(\sqrt{u}), otrzymując

f_y(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}} f_x(\sqrt{u}) = \frac{3}{2\sqrt{u}} e^{-3\sqrt{u}}

Tutaj, podobnie jak w zadaniach 3 oraz 5 przydałaby się interpretacja…

f_x(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp{\left[-\frac{1}{2} x^2 \right]}

Y = X^2

f_y( \cdot ) = ?

F_X(u) = P(X < u)

F_Y(u) = P(Y < u) = P(X^2 < u) = P(-\sqrt{u} < X < \sqrt{u}) = F_X(\sqrt{u}) - F_X({-\sqrt{u}})

Różniczkujemy stronami otrzymując:

f_y(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}} (f_x(\sqrt{u}) + f_x(-\sqrt{u})) = \frac{1}{\sqrt{u}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp{\left[ -\frac{1}{2}u \right]} = Gamma(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})

Nierówność znana jako nierówność Schwartza, w internecie roi się od dowodów

D^2[X+a] = E[(X+a)^2] - (E[X+a])^2 = E[X^2+2aX+a^2] - (E[X]+a)^2= E[X^2]+2aE[X]+a^2 - (E[X])^2-2aE[X]-a^2 = E[X^2] - (E[X])^2 = D^2[X]

D^2[aX] = E[a^2X^2]-(E[aX])^2 = a^2E[X^2] - (aE[X])^2 = a^2 ( E[X^2] - (E[X])^2) = a^2D^2[X]

E[Y] = E(\frac{X-EX}{\sqrt{D^2[X]}}) =\frac{1}{\sqrt{D^2[X]}} (EX - EX) = 0

D^2(Y) = D^2(\frac{X-EX}{\sqrt{D^2[X]}}) = zad 7,8 =D^2[X] (\frac{1}{\sqrt{D^2[X]}})^2 = 1