Z góry uprzedzam, że późno już i nie chce mi się tak naprawdę pisać tego rozwiązania, więc może być „za prosto”.
Zauważmy, że \displaystyle \bigcap_{i=0}^0 A_i = A_0. Skoro tak, to \displaystyle \bigcup_{n=0}^\infty\bigcap_{i=0}^n A_i = A_0, bo przecież \{A_n\} jest rodziną zstępującą, czyli \displaystyle\forall_{i\in\mathbb{N}}A_i\subseteq A_0 (można to sobie indukcyjnie udowodnić z definicji).
Co więcej, \displaystyle\forall_{n\in\mathbb{N}}\bigcup_{i=0}^nA_i=A_0, tak więc \displaystyle \bigcap_{n=0}^\infty\bigcup_{i=0}^n A_i = A_0.