Porządne zrobienie zadania 151. znacząco pomaga przy robieniu tego. Konkretniej, mamy tam udowodnioną inkluzję w prawo dla dowolnych rodzin i kontrprzykład przy inkluzji w lewo. Pozostaje nam więc pokazać, że dla rodzin wstępujących inkluzja w lewo również zachodzi.
Weźmy więc dowolny \displaystyle x \in \bigcup_{i\in \mathbb{N}}A_i \cap \bigcup_{i\in \mathbb{N}}B_i (jak ktoś mi powie, że te nawiasy w whitebooku coś zmieniają i że autor zadań rozmyślnie nie stosował ich wcześniej, to się zastrzelę).
Po rozpisaniu odpowiednich definicji mamy: (\exists_{i\in \mathbb{N}}.x\in A_i) \wedge \exists_{i\in \mathbb{N}}.x\in B_i.
Oznaczmy więc sobie przez j i k te indeksy, dla których to zachodzi, czyli: x\in A_j \wedge x\in B_k.
Mimo że \mathbb{N} nie jest kratą zupełną, zbiór \{j, k\} ma kres górny, którym jest maksimum z j, k. Dla ustalenia uwagi, bez zmniejszania ogólności, załóżmy, że j \leq k.
Teraz, z faktu (rodziny są wstępujące) A_j \subseteq A_{j+1}\subseteq \cdots \subseteq A_k, mamy: x\in A_k.
Ostatecznie, dla i=k mamy: x\in (A_i \cap B_i), co zgodnie z definicją sumy oznacza, że \displaystyle x \in \bigcup_{i\in \mathbb{N}} (A_i \cap B_i), qed.
Dla zstępujących to również działa, tylko że za i bierzemy mniejszą z j, k i korzystamy z drugiej definicji. Dodatkowym argumentem może też być fakt, że A_0 zawiera przecież tak naprawdę wszystkie elementy sumy \displaystyle \bigcup_{i\in \mathbb{N}} A_i, a B_0 - sumy \displaystyle \bigcup_{i\in \mathbb{N}} B_i, itd.