Logika - Zadanie 144.

\newcommand{\zdef}{\buildrel{\scriptscriptstyle\rm z~def}\over\Leftrightarrow} \newcommand{\symd}{\triangle}

Łączność

Weźmy dowolny x \in (A\symd B) \symd C.

x \in (A\symd B) \symd C \zdef [x \in (A\symd B) \Leftrightarrow x \not\in C] \zdef [(x \in A \Leftrightarrow x\not\in B) \Leftrightarrow x \not\in C] \Leftrightarrow [(x \not\in A \Leftrightarrow x\in B) \Leftrightarrow x \not\in C] \Leftrightarrow \Leftrightarrow [x \not\in A \Leftrightarrow (x \in B \Leftrightarrow x \not\in C)] \Leftrightarrow [x\not\in A \Leftrightarrow x\in (B\symd C)] \zdef [x\in A \Leftrightarrow x \not\in (B\symd C)] \zdef x\in A\symd(B\symd C)

Pokazaliśmy, że jeśli x \in (A\triangle B) \triangle C, to x \in A\triangle (B \triangle C). Czytając to od tyłu, pokażemy implikację odwrotną.

Rysunek jest ZŁY! Z rysunku nic nie wynika!

Przemienność

x \in A \symd B \zdef [ x \in A \Leftrightarrow x \not \in B] \Leftrightarrow [ x \not \in A \Leftrightarrow x \in B] \zdef x \in B \symd A

Tożsamości

• x \in A \symd \emptyset \zdef [x \in A \Leftrightarrow x \not\in \emptyset] \buildrel{\scriptscriptstyle\rm z~aksj.~zb.~p.}\over\Leftrightarrow [x\in A \Leftrightarrow \top] \Leftrightarrow x\in A
• x \in A \symd A \zdef [x \in A \Leftrightarrow x\not \in A] \Leftrightarrow \bot \Leftrightarrow x\in \emptyset
• x \in A \cap (B \symd C) \zdef [x\in A \wedge x \in (B \symd C)] \zdef [x\in A \wedge (x\in B \Leftrightarrow x\not\in C)] \buildrel{\scriptscriptstyle\rm z~zad.~20/4}\over\Leftrightarrow [(x\in A \wedge x\in B) \Leftrightarrow (x\in A \wedge x\not\in C)] \Leftrightarrow [x\in (A\cap B)\Leftrightarrow x\not\in(A\cap C)] \zdef x\in (A\cap B)\symd (A\cap C)