Zdanie prawdziwe. Załóżmy nie wprost, że \phi \Rightarrow \psi i \neg \phi \Rightarrow \psi są tautologiami, a \psi nie jest. Oznacza to, że istnieje wartościowanie \sigma takie, że \sigma(\psi)=F. Wtedy \sigma(\phi \Rightarrow \psi)=F albo \sigma(\neg \phi \Rightarrow \psi)=F, a więc jedna z tych formuł nie jest tautologią, co jest sprzeczne z założeniem.
Zdanie nieprawdziwe. Niech \phi = p, a \psi = q \wedge \neg q. Wtedy \phi \Rightarrow \psi jest spełniona dla p fałszywego i niespełnione dla p prawdziwego, a \neg \phi \Rightarrow \psi jest spełniona dla p prawdziwego i niespełniona dla p fałszywego, jednak q \wedge \neg q jest formułą sprzeczną.
Zdanie prawdziwe. Załóżmy nie wprost, że \psi nie jest spełnialna, a więc jest sprzeczna albo tautologią.
Jeśli \psi jest sprzeczna, to aby \phi \Rightarrow \psi była tautologią, \phi również musi być sprzeczna. Ale wtedy \neg \phi \Rightarrow \psi jest sprzeczna.
Jeśli \psi jest tautologią, to skoro \phi \Rightarrow \psi jest tautologią, \phi również jest tautologią. Ale wtedy \neg \phi \Rightarrow \psi jest tautologią.
W obydwu przypadkach \neg \phi \Rightarrow \psi nie jest spełnialna, co stanowi sprzeczność z założeniem.
Zdanie nieprawdziwe. Niech \phi = p \wedge \neg p, a \psi = q. Wtedy \phi \Rightarrow \psi jest tautologią, a \neg \phi \Rightarrow \psi jest spełnialna i zależy od q. Niemniej \phi nie jest tautologią.
