Są.
Aby pokazać równoważność, pokażmy implikacje w obie strony.
\forall x (\psi \Rightarrow \phi) \Rightarrow (\exists x \psi) \Rightarrow \phi
Do założeń wkładamy \forall x (\psi \Rightarrow \phi) i \exists x \psi, chcemy pokazać, że \phi.
Ponieważ w \phi nie ma wolnych wystąpień x, jeśli uda nam się udowodnić, że jest spełniona dla pewnego x, będziemy mogli twierdzić, że jest spełniona dla dowolnego x, czyli niezależnie od niego - „odczepiamy” ją od x.
Weźmy więc taki x, że \psi (jego istnienie mamy zapewnione w jednym z założeń).
Dla każdego x mamy \psi \Rightarrow \phi, więc w szczególności jest tak dla naszego x.
Ponieważ \psi, mamy \phi, co należało wykazać.
[(\exists x \psi) \Rightarrow \phi] \Rightarrow \forall x (\psi \Rightarrow \phi)
Tu podobnie, mamy założone, że \exists x \psi
Możemy też założyć, że dla dowolnego x jest \psi (bo wpp. \psi \Rightarrow \phi jest prawdą). Chcemy pokazać, że \phi.
Skoro wybraliśmy jakieś x takie, że \psi, to znaczy, że istnieje takie x, że \psi.
Z (\exists x \psi) \Rightarrow \phi mamy, że \phi. QED
A podobno to można też nie wprost robić. Ale dowody nie wprost są dla słabych :>
Dyskusja
A czy nie można tego przekształcić?
L = ∀x (Ψ ⇒ Φ) = ∀x (¬Ψ ∨ Φ) = ∀x(¬Ψ) ∨ Φ P = (∃x Ψ) ⇒ Φ = ¬(∃x Ψ) ∨ Φ = ∀x(¬Ψ) ∨ Φ L=P
???
Erm… zdaje się, że można było zakończyć przekształcanie po czwartym znaku równości. No i zamiast równości powinna być równoważność. No i przykład 29., na którym opierasz trzecią równość, w moich czasach był osobnym zadaniem do udowodnienia, ale dziś już chyba można się na to powołać:P Zwłaszcza jeśli np. było to na wykładzie.
„Skoro”? Przecież sam(a) sobie właśnie odpowiedziałaś/eś na zadane pytanie. Zobacz, co wyjdzie, jeśli by jednak łączyła w lewo.
Dlaczego w pierwszym zakładamy, że zachodzi dla każdego x psi⇒fi oraz istnieje takie x że psi, skoro implikacja łączy w prawą stronę?