Z założeń wiemy, że macierz jest nieosobliwa, symetryczna i nie ma zer na przekątnej (bo można zastosować metodę eliminacji bez wyboru elementów głównych)
a) Indukcyjnie:
1) k=1 z założenia działa (a_{ij}^{(1)}=a_{ji}^{(1)})
2) k>1 zakładamy, że a_{ij}^{(k)}=a_{ji}^{(k)}, dla i,j=k,k+1,\cdots,n
aby otrzymać macierz A^{(r+1)} z musimy wykonać mnożenie M^{\left(r\right)}A^{\left(r\right)}
m_{ij}^{\left(r\right)}=\left\{\begin{matrix}
1 & gdy\ i=j\newline
\frac{-a_{ir}^{\left(r\right)}}{a_{rr}^{\left(r\right)}} & gdy\ j=r\newline
0 & w\ p.p.
\end{matrix}\right.
Z definicji mnożenia macierzy:
a_{ij}^{\left(r+1\right)}=\sum_{k=1}^n m_{ik}^{\left(r\right)}\cdot a_{kj}^{\left(r\right)}
Zauważmy, że w jeśli i,j\geq r to tylko dwa składniki tej sumy są niezerowe:
\sum_{k=1}^n m_{ik}^{\left(r\right)}\cdot a_{kj}^{\left(r\right)}=m_{ir}^{\left(r\right)}\cdot a_{rj}^{\left(r\right)}+a_{ij}^{\left(r\right)}=\frac{-a_{ir}^{\left(r\right)}}{a_{rr}^{\left(r\right)}}\cdot a_{rj}^{\left(r\right)} + a_{ij}^{\left(r\right)}
Teraz popatrzmy na element symetryczny do poprzedniego:
a_{ji}^{\left(r+1\right)}=\sum_{k=1}^n m_{jk}^{\left(r\right)}\cdot a_{ki}^{\left(r\right)}
Analogicznie jak poprzednio:
\sum_{k=1}^n m_{jk}^{\left(r\right)}\cdot a_{ki}^{\left(r\right)}=m_{jr}^{\left(r\right)}\cdot a_{ri}^{\left(r\right)}+a_{ji}^{\left(r\right)}=\frac{-a_{jr}^{\left(r\right)}}{a_{rr}^{\left(r\right)}}\cdot a_{ri}^{\left(r\right)} + a_{ji}^{\left(r\right)}
Teraz z założenia indukcyjnego dostajemy:
a_{ij}^{\left(r+1\right)}=\frac{-a_{ir}^{\left(r\right)}}{a_{rr}^{\left(r\right)}}\cdot a_{rj}^{\left(r\right)} + a_{ij}^{\left(r\right)}=\frac{a_{rj}^{\left(r\right)}}{a_{rr}^{\left(r\right)}}\cdot -a_{ir}^{\left(r\right)} + a_{ij}^{\left(r\right)}=\frac{a_{jr}^{\left(r\right)}}{a_{rr}^{\left(r\right)}}\cdot -a_{ri}^{\left(r\right)} + a_{ji}^{\left(r\right)}=a_{ji}^{\left(r+1\right)}
Co powinno zadziałać.
b) Słownie:
Korzystając z tego spostrzeżenia możemy skrócić obliczanie A^{(r+1)} o połowę. Wystarczy, że obliczymy elementy nad przekątną, (oraz na przekątnej). Reszta to albo zera (kolumny <r) albo symetryczne kopie elementów nad przekątną.
Uwaga: rozjeżdża się, gdy nie mamy zainstalowanych czcionek jsmath
D. Kincaid, W. Chenney, Analiza Numeryczna, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2006. str. 171