od administratora: nie przeszkadza mi to (byc moze oprocz formatowania, ale nie mam czasu sie tym teraz zajac), wrecz przeciwnie. — drx 2010/01/14 00:23
– Dziękujemy!
Ogłoszenie duszpasterskie: przedkolokwialne, dodatkowe konsultacje u pana Dymary w poniedziałek 18.01, godz. 10.00, pokój 301
Dyskusja
Kilka spostrzeżeń dot. zadania 33
, to naprawdę działa!
1. Koszmarne rachunki
2. Moim zdaniem tu wychodzi macierz M od wektora A \times B, tak po prostu.
3. To by nas prowadziło do wzorku: A \times (B \times X) - B \times (A \times X) = (A \times B) \times X. Jakieś interpretacje geometryczne tego? hmmm…
4. EDIT:
Poprosiłbym o zadanie nr 27 ;)
Zadanie 28
Ustalmy dowolny wektor U, który nałożony na macierz przekształcenia G daje wektor zerowy. G(U) = 0. Ponieważ F i G są przekształceniami zachowującymi zero, mamy F(G(U)) = F(0) = 0. A więc każdy wektor, który należy do jądra G należy też do jądra F~G. Złożenie F~G polega na nałożeniu macierzy przekształcenia liniowego F na elementy należące do obrazu G. F zaś przekształca dowolne wektory przez nałożenie na nie m(F). A więc obie operacje różnią się jedynie zbiorem wektorów przekształcanych i ten zbiór w przypadku przekształcenia F~G jest podzbiorem F. W związku z tym obraz F~G zawiera się w obrazie F.
Zadanie 22
Z grubej rury, wszystkie 3 podpunkty.
a) Z trójliniowości i antysymetryczności wynika nam że (identycznie jak dla wyznacznika 2×2):
\phi(0,b,c) = -\phi(0,b,c) \Rightarrow \phi(0,b,c) = 0
\phi(a,a,c) = 0
(1) \phi(a,b,c) = -\phi(b,a,c) (równie dobrze możemy zamienić cokolwiek miejscami)
Oznaczamy \phi(E_1, E_2, E_3) przez C, gdzie C = det(Id). Lecimy:
\phi(X,Y,Z) = \phi(x_1 * E_1 + x_2 * E_2 + x_3 * E_3, \ldots, \ldots) = suma.po.i,j,k\{x_i * y_j * z_k * \phi(a_i, a_j, a_k) \} = suma.po.permutacjach\{x_i * y_j * z_k * \phi(\ldots)\} =
= suma.po.permutacjach\{ \ldots * \pm C \} = C * det(X,Y,Z) = det(Id) * det(X,Y,Z)
(te ostatnie przejścia warto sobie przeliczyć, korzystając z (1)..
b) banalne, korzystamy z tego że A(X+Y) = A(X) + A(Y) i A(\alpha X) = \alpha A(X), czyli ta macierz w wyznaczniku nas nie boli
c) det(AB) = det(AB_1, AB_2, AB_3) = suma.po.permutacjach.zbioru(1,2,3)\{b_{1,i} * b_{2,j} * b_{1,k} * det(A*E_1, A*E_2, A*E_3)\} = det(B) * det(A), gdzie C(A) to stała zależna od A. Z drugiej strony, det(AB) = C(B) * det(A). Zatem det(A)/C(A) = det(B)/C(B).
Oznaczamy ten iloraz przez c (stała niezależna od A,B) i mamy że det(AB) = c*det(A)*det(B). Podstawiając A=B=Id ostrzymujemy c=1, co kończy dowód. UFFF