Nie wiem, czy on chce pełny dowód, czy redukcje.
\displaystyle x \downarrow x \Leftrightarrow \neg x
\displaystyle (x \downarrow y ) \downarrow (x \downarrow y ) \Leftrightarrow x \wedge y
Wiemy, że zbiór spójników \{ \neg, \wedge \} jest zupełny.
1. r założenie
2. \neg \neg r (\neg \neg,1)
3. \neg(s \wedge p) (2,3ci aksjomat dany w zadaniu)
4. \neg s \vee \neg p (\neg \wedge,3)
Jedynym momentem w którym formuła \phi \Rightarrow \psi jest fałszywa jest moment, kiedy \rho( \phi ) = \top \wedge \rho( \psi ) = \bot .
Co oznaczałoby, że oskarżony zrobił to, i do tego sam.
Baza:
L(\bot) = R(\bot) = L(\top) = R( \top ) = 0
L(p) = R(p) = 0
Krok:
Wiemy, że dla \phi i \psi zachodzi L(\phi) = R(\phi) \wedge L(\psi) = R(\psi).
L( (\neg \phi) ) = 1 + L( \phi ) = 1 + R( \phi ) = R( (\neg \phi ) )
L( (\phi \wedge \psi ) ) = 1 + L( \phi ) + L( \psi ) = 1 + R( \phi ) + R( \psi ) = R( (\phi \wedge \psi ) )
L( (\phi \vee \psi ) ) = 1 + L( \phi ) + L( \psi ) = 1 + R( \phi ) + R( \psi ) = R( (\phi \vee \psi ) )
L( (\phi \rightarrow \psi ) ) = 1 + L( \phi ) + L( \psi ) = 1 + R( \phi ) + R( \psi ) = R( (\phi \rightarrow \psi ) )
L( (\phi \leftrightarrow \psi ) ) = 1 + L( \phi ) + L( \psi ) = 1 + R( \phi ) + R( \psi ) = R( (\phi \leftrightarrow \psi ) )