\lfloor an \rfloor + \lfloor (1-a)n \rfloor = \lfloor an \rfloor + \lfloor -an + n \rfloor = \lfloor an \rfloor + \lfloor -an \rfloor + n = \lfloor an \rfloor - \lceil an \rceil + n = n - 1
Dla powały analogicznie; wychodzi n+1.
a) f_n = f_{n-1} + 3^n dla n>1 i f_1 = 3
stosując metodę iteracyjną, mamy:
f_n = 3^n + f_{n-1} = 3^n + 3^{n-1} + f_{n-2} = … = 3^n + 3^{n-1} + 3^{n-2} + … + 3^2 + 3 = \frac{3^{n+1}-1}{3-1} = \frac{1}{2}\cdot(3^{n+1}-1)
b)
c) l_n = l_{n-1}\cdot l_{n-2} dla n>2 i l_1=l_2=2
znowu wystarczy trochę rozwinąć:
l_n = l_{n-1}l_{n-2} = (l_{n-2}\cdot l_{n-3})\cdot l_{n-2} = (l_{n-2}\cdot l_{n-2})\cdot l_{n-3} =
(l_{n-3}\cdot l_{n-3}\cdot l_{n-4}\cdot l_{n-4})\cdot l_{n-3} = \underbrace{(l_{n-3}\cdot l_{n-3}\cdot l_{n-3})}_{3\;\rm times}\cdot\underbrace{l_{n-4}\cdot
l_{n-4}}_{2\;\rm times} =
= (l_{n-4}\cdot l_{n-4}\cdot l_{n-4}\cdot l_{n-5}\cdot l_{n-5}\cdot l_{n-5})\cdot l_{n-4}\cdot l_{n-4} = \underbrace{(l_{n-4}\cdot l_{n-4}\cdot l_{n-4}\cdot
l_{n-4}\cdot l_{n-4})}_{5\;\rm times}\cdot \underbrace{l_{n-5}\cdot l_{n-5}\cdot l_{n-5}}_{3\;\rm times} =
= … = l_{n-k}^{F_{k+1}} \cdot l_{n-k-1}^{F_{k}} =
= 2^{F_{n-2}} \cdot 2^{F_{n-1}} = 2^{F_n}
a_0 = 1, a_n = 2 / a_{n-1}
a_0 = 1, a_1 = 2, a_2 = 1, a_3 = 2, …
Myślę, że wzór to: a_n = n\pmod{2} + 1
Dowód indukcyjny:
Baza:
n = 0
a_0 = 0\pmod{2} + 1 = 1 OK
Krok: a_{n+1} = \frac{2}{n\pmod{2} + 1}
Dla parzystych: a_{n+1} = \frac{2}{1} = 2 = n+1\pmod{2} + 1
Dla nieparzystych: a_{n+1} = \frac{2}{2} = 1 = n+1\pmod{2} + 1
a) y_0 = y_1 = 1; y_n = \frac{y^2_{n-1} + y_{n-2}}{y_{n-1}+y_{n-2}} kilka pierwszych elementów: 1, 1, 1, 1… zgadujemy, że y_n = 1 sprawdzamy y_n = \frac{1+1}{1+1} = 1
b) z_0 = 1, \ z_1 = 2; z_n = \frac{z^2_{n-1}-1}{z_{n-2}} ta sama metoda, pierwsze elementy: 1, 2, 3, 4, 5… oo zgadujemy, że z_n = n+1 sprawdzmy z_n = \frac{(n^2-1}{n-1} = \frac{(n+1)(n-1)}{n-1} = n+1
c) t_0 = 0, t_1 = 1; t_n = \frac{(t_{n-1} - t_{n-2} +3)^2}{4} pierwsze elementy: 0, 1, 4, 9, 16, 25… oo zgadujemy, że z_n = n^2 sprawdzmy z_n = \frac{((n-1)^2 - (n-2)^2 +3)^2}{4} = \frac{4n^2}{4} = n^2
a_0 = 1; a_1 = 1+1; a_2 = 2+2+1; a_3 = 3\cdot2+3\cdot2+3+1; a_4 = 4\cdot3\cdot2+4*3\cdot2+4\cdot3+4+1.
a_n = \displaystyle 1 + \sum_{i=0}^{n-1}{\frac{n!}{i!}}
Dowód
Dla n = 0: a_0 = 1. OK.
Dla n > 0: \displaystyle a_n = na_{n-1} + 1 = n \cdot (1 + \sum_{i=0}^{n-2}{\frac{(n-1)!}{i!}}) + 1 = n + \sum_{i=0}^{n-2}{\frac{n!}{i!}} + 1 = 1 + \sum_{i=0}^{n-1}{\frac{n!}{i!}}. OK.
b_0 = 1/2; b_1 = 1/2; b_2 = 1/2;
b_3 = 1/(2*3) + 1/3;
b_4 = 2/(2*3*4) + 2/(3*4) + 1/4;
b_5 = 2*3/(2*3*4*5) + 2*3/(3*4*5) + 3/(4*5) + 1/5
b_6 = 2*3*4/(2*3*4*5*6) + 2*3*4/(3*4*5*6) + 3*4/(4*5*6) + 4/(5*6) + 1/6
Zatem
b_n = \displaystyle \sum_{i=0}^{n-2}{ \frac{ (n-2)! \cdot (i+1)! }{ n! \cdot i! } } = \frac{(n-2)!}{n!} \sum_{i=0}^{n-2}{(i+1)} = \frac{(n-1)n}{n\cdot(n-1)\cdot2} = \frac 1 2
Dowód
n = 2. b_2 = 1/2. OK.
n > 2. \displaystyle b_n = \frac{(n-2)b_{n-1} + 1}{n} = \frac{(n-2)\frac 1 2 + 1}{n} = \frac 1 2. OK.
c_0 = 0
c_1 = 1 + 2
c_2 = 4*1/2 + 4*2/2 + 2/2 + 2/2
c_3 = 5*4*1/(2*3) + 5*4*2/(2*3) + 5*2/(2*3) + 5*2/(2*3) + 3/3 + 2/3
c_4 = 6*4*1/(2*3*4) + 6*5*4*2(2*3*4) + 6*5*2/(2*3*4) + 6*5*2/(2*3*4) + 6*3/(3*4) + 6*2/(3*4) + 4/4 + 2/4
cdn.
d_0 = 1; d_1 = 2
d_2 = 1
d_3 = 2/3
d_4 = 2!/4 * 2/(3*4)
d_5 = 3!*2!*2*2 / (3*3*4*5)
d_6 = 4!*3!*2!*2!*2*2*2 / (3*3*3*4*4*4*5*6)
d_7 = 5!*4!*3!*3!*2!*2*2*2!*2!*2*2*2 / (3*3*3*3*3*4*4*4*4*5*5*6*7)
d_8 = 6!*5!*4!*4!*3!*3!*3!**2!*2!*2*2*2*2!*2*2*2!*2!*2*2*2 / (3*3*3*3*3*3*3*3*4*4*4*4*4*4*4*5*5*5*6*6*7*8)
Zapewne pomylilem sie gdzies po drodze, ale wyglada jak kolejne wykładniki Fibonacciego, wiec strzelam, ze:
d_n = \displaystyle \prod_{i=0}^{n-2}{ (n-2-i)!^{F(i)} } \cdot \prod_{i=0}^{n-1}{ \frac{1}{(n-i)!^{F(i)}} }
n = 2. d_2 = 1. OK
n > 2. \displaystyle d_n = \frac{(n-2)!}{n} \cdot d_{n-1} \cdot d_{n-2} = \frac{(n-2)!}{n} \prod_{i=0}^{n-4}{ (n-4-i)!^{F(i)} } \cdot \prod_{i=0}^{n-3}{ (n-3-i)!^{F(i)} } \cdot \prod_{i=0}^{n-3}{ \frac{1}{(n-2-i)!^{F(i)}} } \cdot \prod_{i=0}^{n-2}{ \frac{1}{(n-1-i)!^{F(i)}} } = ciag dalszy byc moze nastapi
Inne rozwiązanie: d_0 = 1 , d_1 = 2
n \cdot d_n = (n-2)!d_{n-1}d_{n-2}
Pomnóżmy równość przez (n-1)!
n!d_n = (n-1)!d_{n-1}\cdot (n-2)!d_{n-2}
Stwórzmy nowy ciąg:
a_n = n!d_n
mamy, więc
a_n = a_{n-1}a_{n-2} co rozwiązaliśmy w zadaniu 4. c), zatem:
2^{F_n} = a_n = n!d_n
d_n = \frac{2^F_n}{n!}