zdefiniujemy ciąg rekurencyjnie:

\phi_{1} = p \wedge \neg p

\phi_{i} = \phi_{i-1} \Rightarrow p \vee \neg p

Tak, no to ja zwrócę uwagę, że w zasadzie:

• \phi_1 = \bot
• \phi_2 = \bot \Rightarrow \top \equiv \top
• \phi_3 = \top \Rightarrow \top
• \cdots

I dla na przykład \phi_3 \Rightarrow \phi_2 otrzymujemy tautologię, a więc to nie jest dobry przykład. Co więcej, nie wskazano błędu w moim dowodzie. iwan

Jeśli rozpatrujemy formuły o nieskończonej liczbie zmiennych, to może zadziałać:

\phi_{i} = \bigvee^{i}_{k = 1}p_{k} .

Jeśli tylko formuły o skończonej liczbie zmiennych, to chyba nie istnieje, ponieważ mamy nieskończoną liczbę formuł postaci \phi_{i+1}\to\phi_{i}, które mają nie być tautologiami, a tylko skończoną liczbę wartościowań \sigma_{k} (jako, że mamy skończoną liczbę zmiennych). W pojedynczym wartościowaniu jesteśmy w stanie zapewnić „nie-tautologizm” tylko jednej z formuł \phi_{i+1}\to\phi_{i} (oczywiście przy założeniach, że każda formuła postaci \phi_{i}\to\phi_{i+1} jest tautologią).

@iwan Nie wiem czy dobrze zrozumiałem twój dowód, ale wydawało mi sie, że u Ciebie nie-tautologia to formuła sprzeczna a wystarczy, żeby formuła była spełnialna, ale nie dla wszystkich wartościowań. Wtedy luka jest taka, że formuła \phi_{i+1}\to\phi_{i} nie dla każdego („dowolnego”) wartościowania musi być fałszywa.

pozdrawiam, bandzior

No, ładnie, tylko że te formuły nie mają nieskończonych liczb zmiennych. To ciąg \phi_i ma ich nieskończenie wiele. A w tamtym dowodzie fałszywym było stwierdzenie, że nie-tautologia jest fałszywa dla dowolnego wartościowania. Powinno być, że „istnieje”, przy czym w drugiej i czwartej linijce mogły to być różne wartościowania. iwan

Tak więc po dzisiejszych ćwiczeniach (TWi) moge stwierdzić, że rozwiązanie jest poprawne. Co do tej nieskończoności to chodzi o przeliczalnie wiele a nie kontinuum wiec takie formy istanieja.

pozdrawiam, bandzior