Cpż, \displaystyle\bigcup_{t\in T}(A_t \cap B_t) \subseteq \bigcup_{t\in T}A_t \cap \bigcup_{t\in T}B_t
Jak się pokazuje inkluzje? No!
Weźmy dow. \displaystyle x \in \bigcup_{t\in T}(A_t \cap B_t).
Wtedy, z definicji sumy rodziny zbiorów, mamy: \exists_{t\in T}.x\in (A_t \cap B_t).
Z definicji przekroju zbiorów: \exists_{t\in T}.(x\in A_t \wedge x\in B_t).
Weźmy takie t, że x\in A_t i x\in B_t. Skoro x należy do A_t, to x należy też do \bigcup_{t\in T}A_t, bo ta suma zawiera A_t. Podobnie można pokazać, że x należy do \bigcup_{t\in T}B_t. Zatem x należy do \bigcup_{t\in T}A_t \cap \bigcup_{t\in T}B_t, co chcieliśmy pokazać.
W drugą stronę to nie działa. Chętnie podałbym przykład formuł, dla których nie można „wyjąć” kwantyfikatora, no ale chyba jednak trzeba podać przykład rodzin.
Niech T=\mathbb{N}, A_t = \{x:x\leq t\}, a B_t = \{x: t< x\leq 2t\}.
Wtedy suma rodziny \{A_t\} jest zbiorem liczb naturalnych (\pm 0), tak samo jak i suma \{B_t\}, oraz przekrój tych sum. Niemniej, istnieje całkiem sporo liczb naturalnych (np. 7), które nie należą do żadnego ze zbiorów (A_t \cap B_t) - 7 należy do A_t dla t\geq 7, ale do B_t dla 4 \leq t \leq 6.