Zadanie. Czy L = \{ 0^n1^{n^2} : n \in N \} jest bezkontekstowy?
Nie jest.
Dowód. Załóżmy nie wprost, że L jest bezkontekstowy. Niech N będzie stałą z lematu o pompowaniu. Rozpatrzmy słowo w = 0^N1^{N^2} = sztyx. Musimy pompować zarówno zera jak i jedynki. Ani z ani y nie może zawierać zarówno jedynek jak i zer. z = 0^a, y = 1^b. Czy słowo sz^2ty^2x \in L? Przybyło a zer i b jedynek. Czy (N+a)^2 = N^2+b? (N+a)^2 = N^2 + 2Na + a. Wiemy, że b < N. Jeśli a = 0 to b = 0, sprzeczność. Jeśli a \not= 0 to b = 2Na + a \ge N, sprzeczność.