Analiza numeryczna (M) - Lista 3.

Lista 3.

Własność: x = 0 \Leftrightarrow ||x|| = 0.

1. \sum_{i=1}^n |0| = 0
2. \sqrt{\sum_{i=1}^n 0^2} = \sqrt{0} = 0
3. \max_{i=1}^n |0| = 0

Własność: ||a \cdot x|| = |a| \cdot ||x||.

1. ||a \cdot x||_1 = \sum_{i=1}^n |a \cdot x_i| = \sum_{i=1}^n |a| \cdot |x_i| = |a| \cdot \sum_{i=1}^n |x_i| = |a| \cdot ||x||_1
2. ||a \cdot x||_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n a^2 \cdot x_i^2} = \sqrt{a^2 \cdot \sum_{i=1}^n x_i^2} = |a| \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} = |a| \cdot ||x||_2
3. ||a \cdot x||_3 = \max_{i=1}^n |a| \cdot |x_i| = |a| \cdot \max_{i=1}^n |x_i| = |a| \cdot ||x||_3

Własność: ||x + y|| \leq ||x|| + ||y||.

1. ||x + y||_1 = \sum^{n}_{i=1} |x_i + y_i| \leq \sum^{n}_{i=1} |x_i| + |y_i| = \sum^{n}_{i=1} |x_i| + \sum^{n}_{i=1} |y_i| = ||x||_1 + ||y||_1
2. Skorzystamy z tego, że jeśli ||x + y||^2 \leq \left(||x|| + ||y||\right)^2 to ||x + y|| \leq ||x|| + ||y||.

||x + y||^2 = \sum_{i=1}^n (x_i + y_i)^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 + y_i^2 + 2x_iy_i = \sum_{i=1}^n x_i^2 + \sum_{i=1}^n y_i^2 + 2 \sum_{i=1}^n x_iy_i \leq \sum_{i=1}^n x_i^2 + \sum_{i=1}^n y_i^2 + 2 \sqrt{\left(\sum_{i=1}^n x_iy_i\right)^2} \leq

Teraz z twierdzenia Cauchiego (\left(\sum_{i=1}^n x_iy_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right))https://secure.wikimedia.org/wikipedia/en/wiki/Cauchy%E2%80%93Schwarz_inequality :

\leq \sum_{i=1}^n x_i^2 + \sum_{i=1}^n y_i^2 + 2 \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2 \sum_{i=1}^n y_i^2} = \left(\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} + \sqrt{\sum_{i=1}^n y_i^2}\right)^2 = \left(||x|| + ||y||\right)^2

• a ||x||_{\infty} \leq ||x||_1 \leq n\cdot ||x||_{\infty}
  

Element maksymalny jest mniejszy równy sumie elementów (która wlicza element maksymalny), tak samo suma elementów jest mniejsza równa n maksymalnym elementom sumy.

• b ||x||_{\infty} \leq^{(1)} ||x||_2 \leq^{(2)} \sqrt{n} \cdot ||x||_{\infty}
  
  • (1) \max_{1 \leq k \leq n} |x_k| \leq \sqrt{(\max_{1 \leq k \leq n} |x_k| + c)^2} dla c \geq 0
  • (2) ||x||_2^2 = \sum^{n}_{k=1}x_k^2 \leq |n| \cdot max_{1 \leq k \leq n} |x_k^2| podnosimy obustronnie do kwadratu, potem ograniczenie wynika z tego, że n maksymalnych kwadratów elementow jest wieksze lub równe sumie wszystkich kwadratów elementów
• c \frac 1 {\sqrt n} ||x||_1 \leq^{(1)} ||x||_2 \leq^{(2)} ||x||_1 obustronnie dzielimy przez pierwiastek z n, potem http://pl.wikipedia.org/wiki/Nier%C3%B3wno%C5%9B%C4%87_Cauchy'ego_o_%C5%9Brednich
  • (1) \frac {\sum_{k=1}^{n} |x_k|} n \leq \sqrt{\frac {\sum_{k=1}^n x_k^2} n}
  • (2) \sum_{k=1}^{n} (x_k\cdot x_k) \leq (\sum_{k=1}^{n} x_k)^2 = \sum_{k=1}^{n} (x_k\cdot x_k) + 2\sum_{1 \leq k \leq n,1 \leq j \leq n, k \neq j}^n x_j \cdot x_k obustronnie do kwadratu, zauważamy, żę zbiór składników lewej strony to podzbiór składników prawej strony

http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=MN07LAB

• a

cond(A) = ||A|| \cdot ||A^{-1}|| \geq || A A^{-1}|| = ||1|| = 1

• b

cond(\alpha A) = ||\alpha A|| \cdot ||(\alpha A)^{-1}|| = |\alpha| \cdot ||A|| \cdot |\alpha^{-1}| \cdot || A^{-1}|| = 1 *||A|| \cdot ||A^{-1}|| = cond(A)

Wnioski z zeszłego roku (grupa RNO):

• Mniej interesujący – wyznacznik macierzy nie ma nic wspólnego z jej uwarunkowaniem,
• Bardziej interesujący – macierz jest źle uwarunkowana…

Jak się w LaTeX pisze macierze?

<przypomnienie>

||A||_1 zwraca nam wiersz macierzy o największej normie, czyli ||r_i||_1, gdzie r_i to wiersze macierzy A.

||A||_\infty zwraca nam kolumnę macierzy o największej normie, czyli ||c_j||_1, gdzie c_j to kolumny macierzy A.

</przypomnienie>

Obliczyć macierz odwrotną A^{-1} = \left[\begin{matrix} 1 \over \epsilon^2 & - \epsilon^2 |
{(\epsilon - 1) \over \epsilon^2} & 1 - \epsilon^2 - \epsilon^3 \end{matrix} \right].

Gdzie | oznacza nową linię (jsmath nie daje sobie rady z LaTeX-owymi macierzami…)

Obliczamy normy macierzowe:

||A||_1 = 2+\epsilon (norma pierwszego wiersza macierzy A)

||A^{-1}||_1 =\frac {1 - \epsilon + \epsilon^2 - \epsilon_4 - \epsilon_5}{\epsilon^2} (norma drugiego wiersza A_{-1})

||A||_\infty = 2+\epsilon (norma drugiej kolumny macierzy A)

||A^{-1}||_\infty = \frac{1-\epsilon}{\epsilon^2} (norma drugiego wiersza A^{-1})

I widzimy, że cond_1(A) i cond_\infty(A) lecą w kosmos wraz ze zmniejszaniem się \epsilon.