====== Wnioskowanie Statystyczne - Lista 6. ======

===== Zadanie 1. =====

$X_n \sim \Gamma(n,b)$. $\displaystyle M_{X_n}(t) = \left(1 - \frac{t}{b}\right)^{-n}$

Niech $U_i \sim \mathrm{Exp}(b)$ i niech $U_i$ będą iid.

Niech $\displaystyle V_n = \sum_i U_i$.

$\displaystyle M_{V_n}(t) = M_{U_1}(t)M_{U_2}(t)\cdots M_{U_n}(t) = \left( (1 - \frac{t}{b})^{-1}\right)^n = M_{X_n}(t)$

A zatem $X_n = V_n$.

Średnia rozkładu $\mathrm{Exp}(b)$ to $\frac 1 b$ a zatem z prawa wielkich liczb $\displaystyle \overline U_n = \frac {X_n} n \rightarrow \frac 1 b$.

===== Zadanie 2. =====

Niech $X_n \sim \chi^2(n) \sim \Gamma(n/2, 1/2)$.

$X_n$ jest sumą $n$ niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie gamma, więc z CLT jest asymptotycznie rozkładem normalnym.

$\mu = \frac {n/2} {1/2} = n$.

$\sigma^2 = \frac {n/2} {(1/2)^2} = 2n$.

===== Zadanie 3. =====

$A_i \sim \mathrm{U}(-1/2; 1/2)$.

$\displaystyle S_n = \sum_i A_i \sim \; ?$

Niech $B_{i,n} = n \cdot A_i$. Oczywiście $S_n = \overline B_{i,n}$.

$\displaystyle M_{A_i}(t) = \frac{\mathrm{e}^{t(1/2)}-\mathrm{e}^{t(-1/2)}}{t( (1/2)-(-1/2))} = \frac{\mathrm{e}^{t/2}-\mathrm{e}^{-t/2}}{t}$

$\displaystyle M_{B_{i,n}}(t) = M_{A_i}(nt) = \frac{\mathrm{e}^{nt/2}-\mathrm{e}^{-nt/2}}{nt}$

Zatem $B_{i,n} \sim \mathrm{U}(-n/2; n/2)$

$\mu_B = \frac 1 2 (-n/2 + n/2) = 0$.

$\sigma^2_B = \frac 1 {12} (n/2 + n/2)^2 = \frac {n^2} {12}$.

Z CTL $S_n = \overline B_{i,n}$ daży do rozkładu normalnego ze średnią $\mu_B$ i wariancją $\frac {\sigma_B^2} {n}$. QED.

===== Zadanie 4. =====
===== Zadanie 5. =====

**Lemat**

Jeśli $U \sim U(0,1)$ i $F(x)$ jest dystrubuantą ciągłej zmiennej losowej $X$, to $F^{-1}(U)$ ma taki sam rozkład, jak zmienna $X$, gdzie $F^{-1}(u) = \inf\;\{x \mid F(x)=u, 0<u<1\}$.

**Dowód**

$\Pr(F^{-1}(U) \leq x)$ \\
${} = \Pr(U \leq F(x)) \quad \text{(aplikując }F,\text{ które jest monotoniczne, do obydwu stron)}$ \\
${} = F(x)\quad \text{(ponieważ }\Pr(U \leq y) = y,\text{ co wynika z tego, że }U\text{ ma rozkład jednostkowy jednostajny)}$

Będąc uzbrojeni w ten lemat, możemy znaleźć generator o dowolnym rozkładzie, a w szczególności wykładniczym:

$F(x) = 1 - e^{\lambda x}$.

$G(u) = \displaystyle F^{-1}(u) = -\frac{\ln(1-u)}{\lambda}$

Zauważmy, że jeśli $U$ ma jednostajny rozkład, to $1 - U$ również ma jednostajny rozkład. Zatem nasz generator można uprościć:

$\displaystyle G(u) = -\frac{\ln(u)}{\lambda}$