====== Lista 1 ======
===== Zadanie 1 =====
Nie wiem, czy on chce pełny dowód, czy redukcje.

$\displaystyle x \downarrow x \Leftrightarrow \neg x$\\
$\displaystyle (x \downarrow y ) \downarrow (x \downarrow y ) \Leftrightarrow x \wedge y$

Wiemy, że zbiór spójników $\{ \neg, \wedge \}$ jest zupełny.
===== Zadanie 2 =====
1. $r$ założenie \\
2. $ \neg  \neg r $  $(\neg \neg,1)$\\
3. $ \neg(s \wedge p)$ (2,3ci aksjomat dany w zadaniu)\\
4. $ \neg s \vee \neg p $ $(\neg \wedge,3)$\\
===== Zadanie 3 =====
Jedynym momentem w którym formuła $\phi \Rightarrow \psi $ jest fałszywa jest moment, kiedy $\rho( \phi ) = \top \wedge \rho( \psi ) = \bot $.\\
Co oznaczałoby, że oskarżony zrobił to, i do tego sam.

===== Zadanie 4 =====
===== Zadanie 5 =====
===== Zadanie 6 =====
===== Zadanie 7 =====
Baza:\\
$L(\bot) = R(\bot) = L(\top) = R( \top ) = 0$\\
$L(p) = R(p) = 0$\\ 
Krok:\\
Wiemy, że dla $\phi$ i $\psi$ zachodzi $L(\phi) = R(\phi) \wedge L(\psi) = R(\psi)$.\\
$L( (\neg \phi) ) = 1 + L( \phi ) = 1 + R( \phi ) = R( (\neg \phi ) )$\\
$L( (\phi \wedge \psi ) ) = 1 + L( \phi ) + L( \psi ) =  1 + R( \phi ) + R( \psi ) = R( (\phi \wedge \psi ) )$\\
$L( (\phi \vee \psi ) ) = 1 + L( \phi ) + L( \psi ) =  1 + R( \phi ) + R( \psi ) = R( (\phi \vee \psi ) )$\\
$L( (\phi \rightarrow \psi ) ) = 1 + L( \phi ) + L( \psi ) =  1 + R( \phi ) + R( \psi ) = R( (\phi \rightarrow \psi ) )$\\
$L( (\phi \leftrightarrow \psi ) ) = 1 + L( \phi ) + L( \psi ) =  1 + R( \phi ) + R( \psi ) = R( (\phi \leftrightarrow \psi ) )$\\