====== Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - Lista 4. ======

===== Zadanie 1. =====

Ale fajna lista :D

$f(x,y) = Cxy + x + y$, $0 \leq x \leq 2$, $0 \leq y \leq 1$.

f musi się sumować do $1$, sprawdźmy to więc.

$\displaystyle \int_x \int_y f(x,y) dy dx = \int_0^2 \int_0^1 (Cxy + x + y) \; dy \; dx = \int_0^2 (\frac {Cx} 2 + x + \frac 1 2) dx = C + 2 + 1 = C + 3$

Więc $C = -2$.

Problem w tym, że nie wiem czy wartość funkcji gęstości może kiedykolwiek przyjmować wartość ujemną. Na pierwszy rzut oka nie, ale zapytam WKa i do tego czasu spauzuję.

**Update:** Nie może. A $f(2,1) = -2 \cdot 2 \cdot 1 + 2 + 1 = -1$. Więc nie da się wyznaczyć takiego C.

===== Zadanie 2. =====

$f(x,y) = Cxy + x$, $0 \leq x \leq 2$, $0 \leq y \leq 1$.

$\displaystyle 1 = \int_x \int_y f(x,y) dy dx = \int_0^2 \int_0^1 (Cxy + x) \; dy \; dx = \int_0^2 (\frac {Cx} 2 + x) dx = C + 2$

Więc $C = -1$.

$f(x,y) = -xy + x = x(1-y)$. $x \geq 0$ oraz $1-y \geq 0$ więc funkcja ma poprawny zbiór wartości.

Policzmy f. brzegowe.

$\displaystyle f_X(x) = \int_y f(x,y) = \int_0^1 (-xy+x) \; dy = \frac {-x} 2 + x = \frac x 2$

$\displaystyle f_Y(y) = \int_x f(x,y) = \int_0^2 (-xy+x) \; dx = -2y + 2$

$\displaystyle f_X(x) \cdot f_Y(y) = \frac x 2 \cdot (-2y + 2) = -xy + x = f(x,y)$. Czyli X i Y są niezależne.

Teraz zabieżmy się za ostatni podpunkt.

{{:rachunek_prawdopodobienstwa_i_statystyka:rpis04.2c.png|}}

Na czerwono jest region w którym funkcja jest zdefiniowana (czyli tam gdzie być może przyjmuje niezerowe wartości, wszędzie indziej jest zero). Na zielono jest obszar który nas interesuje.

A więc $\displaystyle P(1 \leq X \leq 3, 0 \leq Y \leq 0.5) = P(0 \leq X \leq 2, 0 \leq Y \leq 0.5) - P(0 \leq X \leq 1, 0 \leq Y \leq 0.5) = \int_0^2 \int_0^{0.5} (-xy+x) \; dy \; dx - \int_0^1 \int_0^{0.5} (-xy+x) \; dy \; dx = \int_0^2 \frac {3x} 8 dx - \int_0^1 \frac {3x} 8 dx = \frac 3 4 - \frac 3 {16} = \frac 9 {16}$

===== Zadanie 3. =====

$f(x,y) = C(x+y)e^{-(x+y)}, x>0, y>0$

$\displaystyle 1 = \int_x \int_y f(x,y) \; dy \; dx = \int_0^{\infty} \int_0^{\infty} C(x+y)e^{-(x+y)} \; dy \; dx = \int_0^{\infty} Cx \int_0^{\infty} e^{-(x+y)} \; dy \; dx + \int_0^{\infty} \int_0^{\infty} Cy \cdot e^{-(x+y)} \; dy \; dx = \int_0^{\infty} Cx e^{-x} \int_0^{\infty} e^{-y} \; dy \; dx + \int_0^{\infty} C e^{-x} \int_0^{\infty} y \cdot e^{-y} \; dy \; dx =$

$\displaystyle = \int_0^{\infty} Cx e^{-x} \; dx + \int_0^{\infty} C e^{-x} \; dx = C + C = 2C$

Czyli $C = \frac 1 2$.

Policzmy f. brzegowe. Zauważmy, że już to zrobiliśmy wyżej.

$\displaystyle f_X(x) = \int_0^{\infty} \frac 1 2 (x+y)e^{-(x+y)} dy = \frac 1 2 x e^{-x} + \frac 1 2 e^{-x}$

$\displaystyle f_Y(y) = \int_0^{\infty} \frac 1 2 (x+y)e^{-(x+y)} dx = \frac 1 2 x e^{-y} + \frac 1 2 e^{-y}$. Przypadek bardzo analogiczny. Ciekawe czy to ma jakiś związek z "symetrycznością" f; strzelam, że tak.

$\displaystyle f_X(x) \cdot f_Y(y) = \frac 1 4 (x+1) (y+1) e^{-x-y} \neq f(x,y)$. Czyli X i Y są zależne.



<del>FIXME Nie wiem co to $m_{10}$, etc., ale dowiem się, być może macierz kowariancji.</del>

$m_{NL}$ to moment. Dodatkowo: $m_{10} = E(X)$, $m_{01} = E(Y)$, $m_{11} = E(X \cdot Y)$

Ogólny wzór na moment to $\displaystyle m_{NL} = \int_{\infty}^{\infty} \int_{\infty}^{\infty} x^{N} \cdot y^{L} \cdot f(x, y) \; dx \; dy$

Tutaj **chyba** powinno wyjść $m_{10} = m_{01}$ 




Teraz policzmy współczynnik korelacji.

$\displaystyle \rho_{X,Y} = \frac {cov(X,Y)} {\sigma_X \sigma_Y} = \frac {E(X\cdot Y) - E(X)E(Y)} {\sqrt{E(X^2)-E(X)^2} \sqrt{E(Y^2)-E(Y)^2}}$ ZOMG dużo liczenia.

===== Zadanie 4. =====

W tym zadaniu przyda nam się całka:

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left\{ -\frac12 \left( \frac{x + a}{b} \right)^2 \right\} = b\sqrt{2\pi}$

FIXME Powyższą całkę piszę z pamięci -- do weryfikacji. WKA ją podał jako uogólnienie takiej całki dla $a = 0, b = 1$.


$\displaystyle f(x,y) = C e^{- \frac 1 2 (x^2 + 2xy + 5y^2)}$

$\displaystyle 1 = \int_x \int_y f(x,y) \; dy \; dx = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} $ cdn

===== Zadanie 5. =====

Tutaj można zrobić troche na opak. Trzeba się zastanowić nad zadaniem -- z treści wynika, że X i Y są niezależne, więc najpierw budujemy $f_X(x)$ i $f_Y(y)$, a potem wyznaczamy po prostu $f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$.

| | ^ X ^ 0 ^ 1 ^ 2 ^ 3 ^ 
| | ^ $f_X(X)$ | $\frac 1 4$ | $\frac 1 4$ | $\frac 1 4$ | $\frac 1 4$ |
^ Y ^ $f_Y(Y)$ ^ $f(x,y)$ | |||||
^ 0 | $\frac 3 6$ | | $\frac 3 {24}$ | $\frac 3 {24}$ | $\frac 3 {24}$ | $\frac 3 {24}$ | 
^ 3 | $\frac 1 6$ | | $\frac 1 {24}$ | $\frac 1 {24}$ | $\frac 1 {24}$ | $\frac 1 {24}$ | 
^ 4 | $\frac 1 6$ | | $\frac 1 {24}$ | $\frac 1 {24}$ | $\frac 1 {24}$ | $\frac 1 {24}$ | 
^ 5 | $\frac 1 6$ | | $\frac 1 {24}$ | $\frac 1 {24}$ | $\frac 1 {24}$ | $\frac 1 {24}$ | 

cdn :P
{{tag>[listy_zadan]}}