====== Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - Lista 7. ======
{{:rachunek_prawdopodobienstwa_i_statystyka:10.lista07.pdf|Lista 7}}.

===== Zadania 1,2 =====

W zadaniach tych mamy dane funkcje tworzące momenty i mamy użyć ich, by obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję.
Aby rozwiązać te zadania, należy skorzystać z wiedzy, iż $M'(0) = EX$ (pierwsza pochodna z $M(t)$ obliczona dla $t=0$) oraz $M''(0) = E[X^2]$.

===== Zadania 3,4,5,11 =====

W tych zadaniach korzystamy z dwóch twierdzeń. Pierwsze mówi, że funkcje tworzące momenty są jednoznaczne - jeśli dwie zmienne $X, Y$ mają takie same funkcje tworzące momenty, to mają też taki sam rozkład.

Drugie mówi, że jeśli $Y = X_1 + X_2 + ... + X_n$ to $M_Y(t) = M_{X_1}(t) * M_{X_2}(t) * ... *M_{X_n}(t)$

Wystarczy więc w każdym z tych zadań sprawdzić, jak zachowuje się iloczyn odpowiednich funkcji tworzących i porównać go z tezą zadania.
===== Zadanie 6 =====

Musimy najpierw obliczyć gęstość zmiennych $X_k^2$. Potem zauważyć, że każda z tych zmiennych ma rozkład Gamma z parametrami $b=\frac{1}{2\sigma^2} , p = \frac{1}{2}$ . Dopiero potem, tak jak w zadaniach 3,4,5, zastosować twierdzenie o mnożeniu funkcji tworzących momenty.

Gęstość obliczymy, różniczkując dystrybuantę

$S=X^2 , F_S = P(X^2 \gt t) = P(-\sqrt{t} \gt X \gt \sqrt{t}) =  F_X(\sqrt{t}) - F_X(-\sqrt{t}) $

$f_S = \frac{1}{2\sqrt{t}}f_X(\sqrt{t}) + \frac{1}{2\sqrt{t}}f_X(-\sqrt{t}) = \frac{1}{\sqrt{t}}f_X(\sqrt{t}) = Gamma(\frac{1}{2\sigma^2},\frac{1}{2})$

Funkcja tworząca momenty rozkładu Gamma to 
$(1-\frac{t}{b})^{-p}$
===== Zadanie 7 ======
Sam nie umiem tego zrobić. Ostrzegę tylko, żeby nie próbować obliczać funkcji tworzących momenty - takie podejście zadziałałoby tylko wtedy, gdybyśmy wiedzieli, co z sumy tych zmiennych otrzymali i jedynie potrzebowali dowodu. A z samej funkcji tworzącej momenty gęstość zgadnąć niezwykle trudno.
===== Zadanie 8 ======
Podpunkt a możemy załatwić albo całkując całkę $p-q$ razy przez części, albo lepiej podstawiając $y=1-x, dy=-dx$
Podpunkt b robimy, całkując wszystko raz przez części i korzystając z równości ze wskazówki.
===== Zadanie 9 ======
Można albo przez indukcję, albo też przez zrobienie zadania 10 (i sprawdzenie osobnego przypadku dla p,q = 0, jeśli uznamy 0 za liczbę naturalną)
===== Zadanie 10 ======

Rozpisujemy wskazówki:

$\Gamma(p)\Gamma(q) = \int_0^{\infty} \int_0^{\infty} x^{p-1} y^{q-1} e^{-x-y} dx dy$

Teraz będziemy podstawiać, jak we wskazówce

$x=s(1-t), y= st$. Jakobian będzie równy $(1-t) * (s) - t*s = s$. Zakres wynosi $[0,\infty]$ dla $s$ i $[0,1]$ dla $t$ całka wygląda dalej:


$\int_0^{\infty} \int_0^1 (s(1-t))^{p-1} st^{q-1} e^{-s(1-t)-st} s dt ds = $
s traktujemy w wewnętrznej całce jako stałą 

$ = \int_0^{\infty} s^{p-q-1} e^{-s(1-t)-st} \int_0^1 (1-t)^{p-1} t^{q-1}dt ds$

Zauważamy teraz, że całka po t to po prostu $B(p,q)$. Dodatkowo, możemy teraz całkę podwójną zamienić na iloczyn całek. A na koniec, że całka po s to $\Gamma(p+q)$ Więc otrzymujemy:

$\int_0^{\infty} s^{p-q-1} e^{-s(1-t)-st} \int_0^1 (1-t)^{p-1} t^{q-1}dt ds = \Gamma(p+q) * B(p,q)$

A stąd już widać tezę zadania.