====== Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - Lista 6. ======
{{:rachunek_prawdopodobienstwa_i_statystyka:10.lista06.pdf|Lista 6}}.

===== Zadanie 1 =====

Różnica między zmienną X, a X^2 jest taka, że trzeba posumować prawdopodobieństwa zdarzeń, w których wypadają liczby z przeciwnym znakiem - wszak ich kwadraty będą takie same.

|  Y     |  $9$  |  $4$  |  $1$  |  $0$  | 
|  f(Y)  |  $0.08+0.05=0.13$               |  $0.1$       |  $0.36+0.16=0.52$       |  $0.25$     |    

===== Zadanie 2 =====

Zmienna losowa ma rozkład $X=\frac{1}{2^n}$. Znaleźć rozkład zmiennej $Y=\sin(0.5*\pi*x)$.

$Y=1$ wtedy, gdy $\sin(0.5*\pi*x) = 1$ czyli dla $x=\frac{\pi}{2} + 2k\pi)$\\
$Y=0$ wtedy, gdy $\sin(0.5*\pi*x) = 0$ czyli dla $x=0 + k\pi)$\\
$Y=-1$ wtedy, gdy $\sin(0.5*\pi*x) = -1$ czyli dla $x=\frac{3\pi}{2} + 2k\pi)$

Zatem mamy trzy sumy

$P(Y=1) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^{4k+1}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^5} + \ldots = \frac{8}{15}$

$P(Y=0) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{2k}} = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^4} + \ldots = \frac{5}{15}$

$P(Y=-1) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{4k+3}} = \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^7} + \ldots = \frac{2}{15}$

===== Zadanie 3 =====
Na podstawie notatek własnych z wykładu 2010-11-09.

Zmienna $X$ ma gęstość
$ f(x) = \frac{1}{\sqrt {2 \pi}} \exp\{-\frac{1}{2} x^2\}$

Zmienna $Y$ jest określona $ Y = 3 X + 1$, jej gęstość mamy policzyć ($  g(y) = ? $)

Badamy jaki rozkład ma zmienna $Y$ względem zmiennej $X$, na podstawie ich dystrybuant.

<jsmath>F_X (u) = P(X < u)</jsmath>

<jsmath>F_Y (u) = P(Y < u) = P(3X + 1 < u) = P \left(X < \frac{u - 1}{3} \right) = F_X \left(\frac{u-1}{3} \right)</jsmath>

Różniczkujemy stronami powyższe wyrażenie i otrzymujemy

<jsmath>f_y{u} = f_x \left( \frac{u-1}{3} \right) \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3 \sqrt{2 \pi}} \exp \left\{ -\frac{1}{18} (u-1)^2 \right\}</jsmath>


Ta $\frac{1}{3}$ wzięła się z pochodnej cząstkowej: $F_X' \left(\frac{u-1}{3} \right) = f_x(\frac{u - 1}{3}) * (\frac{u - 1}{3})' = \frac{1}{3} f_x(\frac{u - 1}{3})$

===== Zadanie 4 =====

$f_x(x) = 3 \exp\{ -3x \}$

$Y = X^2$

$F_X(u) = P(X < u)$

$F_Y(u) = P(Y < u) = P(X^2 < u) = P(X < \sqrt{u}) = F_X(\sqrt{u})$

Różniczkujemy stronami równanie $F_Y(u) = F_X(\sqrt{u})$, otrzymując

$f_y(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}} f_x(\sqrt{u}) = \frac{3}{2\sqrt{u}} e^{-3\sqrt{u}}$

TODO
Tutaj, podobnie jak w zadaniach 3 oraz 5 przydałaby się interpretacja...

===== Zadanie 5 =====

$f_x(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp{\left[-\frac{1}{2} x^2 \right]}$

$Y = X^2$

$f_y( \cdot ) = ?$

$F_X(u) = P(X < u)$

$F_Y(u) = P(Y < u) = P(X^2 < u) = P(-\sqrt{u} < X < \sqrt{u}) = F_X(\sqrt{u}) - F_X({-\sqrt{u}})$

Różniczkujemy stronami otrzymując:

$f_y(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}} (f_x(\sqrt{u}) + f_x(-\sqrt{u})) = \frac{1}{\sqrt{u}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp{\left[ -\frac{1}{2}u \right]} = Gamma(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

===== Zadanie 6 =====
Nierówność znana jako nierówność Schwartza, w internecie roi się od dowodów

===== Zadanie 7 =====
$D^2[X+a] = E[(X+a)^2] - (E[X+a])^2 = E[X^2+2aX+a^2] - (E[X]+a)^2= E[X^2]+2aE[X]+a^2 - (E[X])^2-2aE[X]-a^2 = E[X^2] - (E[X])^2 = D^2[X]$
===== Zadanie 8 =====
$D^2[aX] = E[a^2X^2]-(E[aX])^2 = a^2E[X^2] - (aE[X])^2 = a^2 ( E[X^2] - (E[X])^2) = a^2D^2[X]$
===== Zadanie 9 =====
$E[Y] = E(\frac{X-EX}{\sqrt{D^2[X]}}) =\frac{1}{\sqrt{D^2[X]}} (EX - EX) = 0 $

$D^2(Y) = D^2(\frac{X-EX}{\sqrt{D^2[X]}}) = $ zad 7,8  $=D^2[X] (\frac{1}{\sqrt{D^2[X]}})^2 = 1$