====== Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - Lista 5. ======
{{:rachunek_prawdopodobienstwa_i_statystyka:10.lista05.pdf|Lista 5}}.
===== Zadanie 1 =====

<jsmath>
E[\frac{1}{X+1t}] = \sum_{k=0}^{n} {\frac{1}{k+1}{n\choose k}p^{k}q^{n-k}} =  \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n{{n+1}\choose {k+1}}p^{k}q^{n-k}} = \frac{1}{n+1} \sum_{k=1}^{n+1}{{n+1}\choose {k}}p^{k-1}q^{n+1-k} = \frac{1}{(n+1)p} \sum_{k=1}^{n+1}{{n+1}\choose {k}}p^{k}q^{n+1-k} = \frac{1^{n+1}-{{n+1}\choose 0}q^{n+1}}{(n+1)p} = \frac{1-(1-p)^{n+1}}{(n+1)p}
</jsmath>

===== Zadanie 2 =====

Szukamy takiego i, dla którego P(X=i) jest jak największe. Okazuje się, że będzie tak dla i=λ.
Dlaczego? Rozkład Poissona ma następującą gęstość:
<jsmath>
\frac{\lambda^k}{k!e^{\lambda}}
</jsmath>
Zatem:
  - Dopóki i jest mniejsze, licznik rośnie cały czas o λ, a mianownik o czynnik mniejszy niż λ - zatem licznik rośnie szybciej. 
  - Kiedy i osiągnie wartość λ, mianownik zaczyna stopniowo rosnąć o czynniki większe od λ - najpierw λ+1, potem λ+2 itd. Licznik rośnie dalej tak, jak rósł - czyli o λ - już wolniej niż mianownik. 
  - Zatem maksymalną wartość wyrażenie przyjmie dla i=λ (oraz dla i=λ-1).
  - Jeśli λ nie jest liczbą naturalną, to prawdopodobieństwo będzie rosnąć do podłogi z λ.
===== Zadanie 3 =====

Cała sztuczka polega na tym, by zauważyć, że dla k=0 całe wyrażenie znajdujące się pod sumą wynosi zero, więc możemy sumować od razu od jedynki. Potem tylko przesuniemy granicę sumowania o jeden w dół.

<jsmath>
E[X^n] = \sum_{k=0}^\infty k^n * \frac{\lambda^k}{k!*e^{\lambda}} = e^{-\lambda}\sum_{k=1}^\infty k^n * \frac{\lambda^k}{k!} = \lambda*e^{-\lambda}\sum_{k=1}^\infty k^{n-1} * \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} = \lambda*e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty (k+1)^{n-1} * \frac{\lambda^k}{k!} = \lambda * E[(X+1)^{n-1}]
</jsmath>
I jeszcze:
<jsmath>
E[X^2] = \lambda E[X+1] = \lambda(E[X] + 1) = \lambda (\lambda +1) 
</jsmath>
<jsmath>
E[X^3] = \lambda E[(X+1)^2] = \lambda E(X^2+2X+1) = \lambda (E[X^2]+2*E[X]+1) = \lambda(\lambda (\lambda+1) + 2\lambda + 1)
</jsmath>

 ===== Zadanie 4 =====

<jsmath>
\sum_0^{\infty} \frac{k!{\lambda}^k}{k!e^{\lambda}} = \frac{1}{e^{\lambda}} * \sum_0^{\infty} \lambda^k = \frac{1}{e^{\lambda}(1-\lambda)}
</jsmath>

===== Zadanie 5 =====

Tak jak kiedyś różniczkowaliśmy szereg geometryczny, by, przemnażając przez k cały ciąg, otrzymać wzór na wartość oczekiwaną rozkładu geometrycznego,
tak teraz będziemy całkować, by podzielić cały szereg przez k.

<jsmath>
\sum_{k=1}^{\infty}(1-p)^{k-1}*p*\frac{1}{k} = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(1-p)^k}{(1-p)}*p*\frac{1}{k} = \frac{p}{q}\sum_{k=1}^{∝} \frac{(q)^k}{k}
</jsmath>

Całkujemy wzór na szereg geometryczny:
<jsmath>
\int \frac{1}{1-q} dq= -\log(1-q) = -\log(p)
</jsmath>

Teraz możemy podstawić wynik całkowania za sumę

<jsmath>
\frac{p}{q}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(q)^k}{k} = \frac{p}{q} *(-\log(p)) = \frac{-p\log(p)}{1-p}
</jsmath>

===== Zadanie 6 =====
<jsmath>
I^2 = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2 + y^2)/2}dx dy 
</jsmath>
Tutaj trzeba znać czarną magię (zwaną też przez niektórych analizą 2)

Aby podstawić 

<jsmath>
x  = r*cos(\theta) ; y=r*sin(\theta)
</jsmath>

Musimy zrobić dwie rzeczy. Pierwszą jest policzenie wartości bezwzględnej z wyznacznika[[http://pl.wikipedia.org/wiki/Jakobian|Macierzy Jacobiego]].

<jsmath>
\begin{vmatrix} \\
<nowiki>({rcos\theta})'_r & ({rcos\theta})'_\theta\\</nowiki>\\
({rsin\theta})'_r & ({rsin\theta})'_\theta \\
\end{vmatrix} = 
\begin{vmatrix} \\
<nowiki>cos\theta & -rsin\theta\\</nowiki> \\ 
sin\theta & rcos\theta \\
\end{vmatrix} = rcos^2\theta + rsin^2\theta = r(cos^2\theta+sin^2\theta) = r
</jsmath>

Drugą rzeczą jest zmiana granic całkowania. Ponieważ r to promień, może przyjmować wartości od 0 do nieskończoności. Zaś kąt może przyjmować wartości od 0 do 2π. Całka będzie miała postać

<jsmath>
I^2 = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{2\pi} e^{-r^2(cos^2(\theta) + sin^2(\theta))/2}r d\theta dr =  I^2 = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{2\pi} e^{-r^2/2 * 1}r d\theta dr =  \int_{0}^{\infty} 2\pi e^{-r^2/2}r dr =  2\pi*[-
(e^{\frac{(-r^2)}{2}})]_0^{\infty} = 2\pi</jsmath>

===== Zadanie 7 =====
Z tego, że f jest gęstością wynika, że
<jsmath>
\int_0^1 a+bx^2 = a+ \frac{b}{3} =^{def} 1
</jsmath>
Wartość oczekiwana podana została w treści zadania
<jsmath>
\int_0^1 ax+bx^3 = \frac{a}{2}+ \frac{b}{4} =^{def} 0.6
</jsmath>
Gdy rozwiążemy układ dwóch równań otrzymamy:
<jsmath>
b = 1.2, a= 0.6
</jsmath>

===== Zadanie 8 =====

[[http://ii.yebood.com/viewtopic.php?p=96270&sid=74f74b2c2edbd8f60d5030c57d59c017#96270|Rozwiązanie na forum]]

===== Zadanie 9 =====

===== Zadanie 10 =====

Zadanie te można ładnie rozwiązać, rysując kwadrat 1 na 1. 
{{:rachunek_prawdopodobienstwa_i_statystyka:kwadrat.jpg|}}

Należy ładnie zapisać warunki, które muszą zachodzić, by wylosowane odcinki mogły utworzyć trójkąt. 
Będziemy mieli dwa bliźniacze przypadki - gdy x<y i y<x . Jeśli poprawnie wykonamy rysunek, bez trudu obliczymy pole - 
wyniesie 1/8 + 1/8 = 1/4 . 

===== Zadanie 11 =====

Tutaj też rozpatrujemy dwa przypadki - tyle, że tym razem nie możemy wykręcić się rysunkiem - będziemy musieli policzyć całki:

<jsmath>
f(x,y) = 36x(x-1)u(y-1)
</jsmath>

Pierwsza całka odpowiada bodaj przypadkowi, gdy x<y, a druga przeciwnemu. Nie gwarantuję w 100%, że są poprawne, ale robione są właśnie na taką modłę.
<jsmath>
\int_0^{0.5} \int_{0.5}^{x+0.5}  f(x,y)dydx + \int_{0.5}^{1} \int_{x-0.5}^{0.5}  f(x,y) dydx
</jsmath>