====== Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - Lista 3. ====== {{:rachunek_prawdopodobienstwa_i_statystyka:10.lista03.pdf|Lista 3}}. Krysicki i in. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka cz. 1, Rozdział 5. ===== Zadanie 1 ===== Wybrać takie C, by podwójna całka z gęstości, dla przedziału [0,1]x[0,2] dała 1 (sprawdzić kiedy zachodzi równość $\int_0^2 \int_0^1 \! {Cxy + x + y} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x = 1$). Let's do the math: \int_0^2 \int_0^1 {Cxy + x + y} \, dy \, dx = \int_0^2 \left[ \frac{1}{2} Cx^2 y + \frac{1}{2}x^2 + xy \right]_0^1 \, dy = \int_0^2 \frac{1}{2} Cy + \frac{1}{2} + y \, dy = \left[ \frac{1}{4} Cy^2 + \frac{1}{2} y + \frac{1}{2}y^2 \right]_0^2 = C + 1 + 2 = C+3 Aby $C+3 = 1$, $C = -2$. //edited by ozzy fuck yea://\\ musi być też $f(x,y) >= 0$\\ $f(2,1) = -2 * 2 * 1 + 2 + 1 = -4 + 3 = -1 < 0 \Rightarrow f(x,y)$ nie może być gęstością. ===== Zadanie 2 ===== Całka prawie taka sama, jak w poprzednim zadaniu, więc nie rozpisuję. \int_0^2 \int_0^1 {Cxy + x} \, dy \, dx = C+2 Oczywiście C = -1 Teraz musimy policzyć gęstości brzegowe f_1(x) = \int_0^1 {Cxy + x} \, dy = \frac{-x}{2} + x = \frac{x}{2} f_2(y) = \int_0^2 {Cxy + x} \, dx = -2y+2 Teraz sprawdzamy czy f(x,y) = f_1(x)f_2(y) Owszem: \frac{x}{2} * (-2y+2) = -xy + x Zatem zmienne są niezależne. ===== Zadanie 3 ===== ===== Zadanie 4 ===== ===== Zadanie 5 =====