====== Zadanie 22 z listy 4 ======

Treść zadania: //Zmienna losowa $X$ ma rozkład wykładniczy z parametrem $4$. Znaleźć rozkład zmiennej losowej $Y = 3X + 4$. Obliczyć gęstość $Y$.//

Zmienna $X$ ma rozkład wykładniczy z parametrem $4$, zatem jej gęstość $f(x) = 4e^{-4x}$ dla $x \geq 0$, dystrybuanta $F(t) = \int_0^t f(x) dx$. Mamy znaleźć rozkład $Y$, czyli jej dystrybuantę $G(y)$ lub gęstość $g(y)$. Łatwiej nam wyznaczyć gęstość.

$G(y) = P(Y \leq y) = P(3X + 4 \leq y) = P(X \leq \frac{y-4}{3}) = F(\frac{y-4}{3})$

$g(y) = G'(y) = \big(F(\frac{y-4}{3})\big)' = f(\frac{y-4}{3}) \cdot \frac{1}{3} \quad y \geq 4$