Przypomnijmy, że spójnik implikacji łączy w prawo, czyli np. $p \Rightarrow q \Rightarrow r$ znaczy $p \Rightarrow (q \Rightarrow r)$.

Dowód indukcyjny względem $n$.

  - Dla $n = 1$ mamy: $\psi_1 \Rightarrow \phi$. Wybierzmy dowolne wartościowanie $\sigma$. Ponieważ $\sigma(\phi) = T$, formuła $\psi_1 \Rightarrow \phi$ jest prawdziwa, a ponieważ wybraliśmy dowolne wartościowanie, jest zarazem tautologią.
  - Dla $n = k$ mamy $\psi_1 \Rightarrow \cdots \Rightarrow \psi_k \Rightarrow \phi$, o której zakładamy, że jest tautologią. Pokażmy, że $\psi_1 \Rightarrow \cdots \Rightarrow \psi_k \Rightarrow \psi_{k+1} \Rightarrow \phi$ również jest tautologią. Korzystając z przypomnianej łączności, zapisujemy: $\psi_1 \Rightarrow \cdots \Rightarrow \psi_k \Rightarrow (\psi_{k+1} \Rightarrow \phi)$. Korzystając z punktu pierwszego stwierdzamy, że formuła w nawiasie jest tautologią, a korzystając z lematu o podstawianiu, zastępujemy ją formułą równoważną: $\psi_1 \Rightarrow \cdots \Rightarrow \psi_k \Rightarrow \phi$. Tak otrzymana formuła jest z założenia tautologią. QED.