zdefiniujemy ciąg rekurencyjnie:


$ \phi_{1} =  p \wedge \neg p $

$ \phi_{i} =  \phi_{i-1} \Rightarrow p \vee \neg p $


Tak, no to ja zwrócę uwagę, że w zasadzie:
  * $\phi_1 = \bot$
  * $\phi_2 = \bot \Rightarrow \top \equiv \top$
  * $\phi_3 = \top \Rightarrow \top$
  * $\cdots$
I dla na przykład $\phi_3 \Rightarrow \phi_2$ otrzymujemy tautologię, a więc to nie jest dobry przykład. Co więcej, nie wskazano błędu w moim dowodzie. //iwan//

Jeśli rozpatrujemy formuły o nieskończonej liczbie zmiennych, to może zadziałać:

$ \phi_{i} = \bigvee^{i}_{k = 1}p_{k} $ .

Jeśli tylko formuły o skończonej liczbie zmiennych, to chyba nie istnieje, ponieważ mamy nieskończoną liczbę formuł postaci $\phi_{i+1}\to\phi_{i}$, które mają nie być tautologiami, a tylko skończoną liczbę wartościowań $\sigma_{k}$ (jako, że mamy skończoną liczbę zmiennych). W pojedynczym wartościowaniu jesteśmy w stanie zapewnić "nie-tautologizm" tylko jednej z formuł $\phi_{i+1}\to\phi_{i}$ (oczywiście przy założeniach, że każda formuła postaci $\phi_{i}\to\phi_{i+1}$ jest tautologią).

@//iwan// Nie wiem czy dobrze zrozumiałem twój dowód, ale wydawało mi sie, że u Ciebie nie-tautologia to formuła sprzeczna a wystarczy, żeby formuła była spełnialna, ale nie dla wszystkich wartościowań. Wtedy luka jest taka, że formuła $\phi_{i+1}\to\phi_{i}$ nie dla każdego ("dowolnego") wartościowania musi być fałszywa.

pozdrawiam, //bandzior//

No, ładnie, tylko że te formuły nie mają nieskończonych liczb zmiennych. To ciąg $\phi_i$ ma ich nieskończenie wiele. A w tamtym dowodzie fałszywym było stwierdzenie, że nie-tautologia jest fałszywa dla dowolnego wartościowania. Powinno być, że "istnieje", przy czym w drugiej i czwartej linijce mogły to być różne wartościowania. //iwan//

Tak więc po dzisiejszych ćwiczeniach (TWi) moge stwierdzić, że rozwiązanie jest poprawne. Co do tej nieskończoności to chodzi o przeliczalnie wiele a nie kontinuum wiec takie formy istanieja.

pozdrawiam, //bandzior//