Okay, w skrócie będzie:
Zał że $R \cup S = RS = T$
  * zwrotność banalna
  * $aTb \Rightarrow aRb \vee aSb$. zał, bsdo, to pierwsze. Więc dla $p=a$ jest: $bRa \wedge aSa \Rightarrow (b,a) \in RS \Rightarrow bTa$.
  * przechodniość: $aTb \wedge bTc \Rightarrow (aRb \vee aSb) \wedge (bRc \vee bSc) \Rightarrow (aRb \wedge bRc) \vee (aRb \wedge bSc) \vee (aSb \wedge bSc) \vee (aSb \wedge bRc) \Rightarrow aRc \vee aTc \vee aSc \vee aTc \Rightarrow aTc$.

W drugą stronę: zał że $R \cup S \neq RS \Rightarrow$ dwa przypadki:
  * $\exists (a,b) \in R \cup S \wedge (a,b) \not\in RS \Rightarrow (aRb \vee aSb) \wedge (\forall p. \neg aRp \vee \neg pSb) \Rightarrow (...)\wedge (\neg aRa \vee \neg aSb) \wedge (\neg aRb \vee \neg bSb) \Rightarrow (aRb \vee aSb) \wedge \neg aRb \wedge \neg aSb \Rightarrow$ sprzeczność.
  * Niech $T = R \cup S$ i załóżmy, że T jest równoważnością. Wtedy $(a,b) \in RS \wedge (a,b) \not\in T \Rightarrow (\exists p. (aRp \wedge pSb)) \wedge (a,b) \not\in T \Rightarrow (\exists p. (aTp \wedge pTb)) \wedge \neg aTb \Rightarrow aTb \wedge \neg aTb \Rightarrow $ sprzeczność. \\
$TR \cup ST$. Zaufanie przede wszystkim.