====== Logika - Zadanie 179. ======
Porządne zrobienie zadania 151. znacząco pomaga przy robieniu tego. Konkretniej, mamy tam udowodnioną inkluzję w prawo dla dowolnych rodzin i kontrprzykład przy inkluzji w lewo. Pozostaje nam więc pokazać, że dla rodzin wstępujących inkluzja w lewo również zachodzi.

Weźmy więc dowolny $\displaystyle x \in \bigcup_{i\in \mathbb{N}}A_i \cap \bigcup_{i\in \mathbb{N}}B_i$ (jak ktoś mi powie, że te nawiasy w whitebooku coś zmieniają i że autor zadań rozmyślnie nie stosował ich wcześniej, to się zastrzelę).

Po rozpisaniu odpowiednich definicji mamy: $(\exists_{i\in \mathbb{N}}.x\in A_i) \wedge \exists_{i\in \mathbb{N}}.x\in B_i$.

Oznaczmy więc sobie przez $j$ i $k$ te indeksy, dla których to zachodzi, czyli: $x\in A_j \wedge x\in B_k$.

Mimo że $\mathbb{N}$ nie jest kratą zupełną, zbiór $\{j, k\}$ ma kres górny, którym jest maksimum z $j, k$. Dla ustalenia uwagi, bez zmniejszania ogólności, załóżmy, że $j \leq k$.

Teraz, z faktu (rodziny są wstępujące) $A_j \subseteq A_{j+1}\subseteq \cdots \subseteq A_k$, mamy: $x\in A_k$.

Ostatecznie, dla $i=k$ mamy: $x\in (A_i \cap B_i)$, co zgodnie z definicją sumy oznacza, że $\displaystyle x \in \bigcup_{i\in \mathbb{N}} (A_i \cap B_i)$, qed.

Dla zstępujących to również działa, tylko że za $i$ bierzemy mniejszą z $j, k$ i korzystamy z drugiej definicji. Dodatkowym argumentem może też być fakt, że $A_0$ zawiera przecież tak naprawdę wszystkie elementy sumy $\displaystyle \bigcup_{i\in \mathbb{N}} A_i$, a $B_0$ - sumy $\displaystyle \bigcup_{i\in \mathbb{N}} B_i$, itd.