====== Logika - Zadanie 151. ======
Cpż, $\displaystyle\bigcup_{t\in T}(A_t \cap B_t) \subseteq \bigcup_{t\in T}A_t \cap \bigcup_{t\in T}B_t$

Jak się pokazuje inkluzje? No!

Weźmy dow. $\displaystyle x \in \bigcup_{t\in T}(A_t \cap B_t)$.

Wtedy, z definicji sumy rodziny zbiorów, mamy: $\exists_{t\in T}.x\in (A_t \cap B_t)$.

Z definicji przekroju zbiorów: $\exists_{t\in T}.(x\in A_t \wedge x\in B_t).$

Weźmy takie $t$, że $x\in A_t$ i $x\in B_t$. Skoro $x$ należy do $A_t$, to $x$ należy też do $\bigcup_{t\in T}A_t$, bo ta suma zawiera $A_t$. Podobnie można pokazać, że $x$ należy do $\bigcup_{t\in T}B_t$. Zatem $x$ należy do $\bigcup_{t\in T}A_t \cap \bigcup_{t\in T}B_t$, co chcieliśmy pokazać.

W drugą stronę to nie działa. Chętnie podałbym przykład formuł, dla których nie można "wyjąć" kwantyfikatora, no ale chyba jednak trzeba podać przykład rodzin.

Niech $T=\mathbb{N}$, $A_t = \{x:x\leq t\}$, a $B_t = \{x: t< x\leq 2t\}$.

Wtedy suma rodziny $\{A_t\}$ jest zbiorem liczb naturalnych ($\pm 0$), tak samo jak i suma $\{B_t\}$, oraz przekrój tych sum. Niemniej, istnieje całkiem sporo liczb naturalnych (np. 7), które nie należą do żadnego ze zbiorów $(A_t \cap B_t)$ - 7 należy do $A_t$ dla $t\geq 7$, ale do $B_t$ dla $4 \leq t \leq 6$.