====== Logika - Zadanie 140. ======
Równoważność ciągu formuł udowodnimy poprzez udowodnienie wszystkich implikacji "w prawo".
  - $A\subseteq B \Rightarrow A\cup B = B$
    * Wykażmy zawieranie $A\cup B \subseteq B$.
    * Weźmy dowolne $x \in A \cup B$.
    * Z definicji sumy zbiorów mamy: $x\in A \vee x \in B$.
    * Rozważmy przypadek $x\in B$. Wtedy w sposób trywialny $x\in B$.
    * Wpp., $x\in A$. Ale ponieważ $A\subseteq B$, z definicji zawierania zbioru mamy: $x\in B$.
    * Ponieważ wybraliśmy dowolne $x$, udowodniliśmy zawieranie $A\cup B \subseteq B$.
    * Zawieranie $A\cup B \supseteq B$ jest trywialne (a jeśli prowadzący się uprze, to powinieneś/powinnaś już sam(a) umieć to rozpisać)
    * Ponieważ prawdziwe są zawierania w obie strony, zbiory $A\cup B$ i $B$ są równe (przy założeniu $A\subseteq B$).
  - $A \cup B = B \Rightarrow A\cap B = A$
    * Wykażmy zawieranie $A\cap B \subseteq A$
    * Weźmy dowolne $x \in A \cap B$.
    * Z definicji przekroju zbiorów mamy: $x\in A \wedge x\in B$.
    * W szczególności, $x \in B$, a więc wobec wyboru dowolnego $x$, zawieranie zachodzi.
    * Wykażmy teraz $A\cap B \supseteq A$.
    * Weźmy dowolne $x \in A$.
    * Z poprzednika implikacji wiemy, że $A \cup B \subseteq B$, a więc w szczególności $A \subseteq B$ (ponownie, pokazywanie tego jest zbędne)
    * Tak więc $x\in B$, czyli $x \in A \wedge x\in B$, co mieliśmy pokazać.
  - $A\cap B = A \Rightarrow A \setminus B = \emptyset$
    * W tym momencie prowadzący powinien się już odczepić, ale jeśli masz pecha, to wybierz dowolny $x \in A\setminus B$.
    * Z definicji różnicy zbiorów, należy on do $A$.
    * Z zawierania $A\cap B \supseteq A$ mamy, że $x\in B$.
    * Tak więc $x \in B \wedge x \not\in B$ - sprzeczność.
    * Wybierając dowolny element, doprowadziliśmy do sprzeczności, tak więc zbiór $A\setminus B$ jest pusty.
  - $A\setminus B = \emptyset \Rightarrow A\subseteq B$
    * Weźmy dowolne $x\in A$.
    * Z dychotomii należenia, $x\in B$ albo $x \not\in B$.
    * Ponieważ $A\setminus B = \emptyset$, $\neg x\not\in B$, więc $x\in B$.