- Zdanie prawdziwe. Załóżmy nie wprost, że $\phi \Rightarrow \psi$ i $\neg \phi \Rightarrow \psi$ są tautologiami, a $\psi$ nie jest. Oznacza to, że istnieje wartościowanie $\sigma$ takie, że $\sigma(\psi)=F$. Wtedy $\sigma(\phi \Rightarrow \psi)=F$ albo $\sigma(\neg \phi \Rightarrow \psi)=F$, a więc jedna z tych formuł nie jest tautologią, co jest sprzeczne z założeniem.
  - Zdanie nieprawdziwe. Niech $\phi = p$, a $\psi = q \wedge \neg q$. Wtedy $\phi \Rightarrow \psi$ jest spełniona dla $p$ fałszywego i niespełnione dla $p$ prawdziwego, a $\neg \phi \Rightarrow \psi$ jest spełniona dla $p$ prawdziwego i niespełniona dla $p$ fałszywego, jednak $q \wedge \neg q$ jest formułą sprzeczną.
  - Zdanie prawdziwe. Załóżmy nie wprost, że $\psi$ nie jest spełnialna, a więc jest sprzeczna albo tautologią.
    * Jeśli $\psi$ jest sprzeczna, to aby $\phi \Rightarrow \psi$ była tautologią, $\phi$ również musi być sprzeczna. Ale wtedy $\neg \phi \Rightarrow \psi$ jest sprzeczna.
    * Jeśli $\psi$ jest tautologią, to skoro $\phi \Rightarrow \psi$ jest tautologią, $\phi$ również jest tautologią. Ale wtedy $\neg \phi \Rightarrow \psi$ jest tautologią. \\ W obydwu przypadkach $\neg \phi \Rightarrow \psi$ nie jest spełnialna, co stanowi sprzeczność z założeniem.
  - Zdanie nieprawdziwe. Niech $\phi = p \wedge \neg p$, a $\psi = q$. Wtedy $\phi \Rightarrow \psi$ jest tautologią, a $\neg \phi \Rightarrow \psi$ jest spełnialna i zależy od $q$. Niemniej $\phi$ nie jest tautologią.