====== Logika - Zadanie 110. ======
Są.

Aby pokazać równoważność, pokażmy implikacje w obie strony.

  - $\forall x (\psi \Rightarrow \phi) \Rightarrow (\exists x \psi) \Rightarrow \phi$
    * Do założeń wkładamy $\forall x (\psi \Rightarrow \phi)$ i $\exists x \psi$, chcemy pokazać, że $\phi$.
    * Ponieważ w $\phi$ nie ma wolnych wystąpień $x$, jeśli uda nam się udowodnić, że jest spełniona dla pewnego $x$, będziemy mogli twierdzić, że jest spełniona dla dowolnego $x$, czyli niezależnie od niego - "odczepiamy" ją od $x$.
    * Weźmy więc taki $x$, że $\psi$ (jego istnienie mamy zapewnione w jednym z założeń).
    * Dla każdego $x$ mamy $\psi \Rightarrow \phi$, więc w szczególności jest tak dla naszego $x$.
    * Ponieważ $\psi$, mamy $\phi$, co należało wykazać.
  - $[(\exists x \psi) \Rightarrow \phi] \Rightarrow \forall x (\psi \Rightarrow \phi)$
    * Tu podobnie, mamy założone, że $\exists x \psi$
    * Możemy też założyć, że dla dowolnego $x$ jest $\psi$ (bo wpp. $\psi \Rightarrow \phi$ jest prawdą). Chcemy pokazać, że $\phi$.
    * Skoro wybraliśmy jakieś $x$ takie, że $\psi$, to znaczy, że istnieje takie $x$, że $\psi$.
    * Z $(\exists x \psi) \Rightarrow \phi$ mamy, że $\phi$. QED

A podobno to można też nie wprost robić. Ale dowody nie wprost są dla słabych :>