====== Architektury systemów komputerowych - Lista 7. ======
  * {{:ask:09.lista07.pdf|Lista 7}}
Program bc jest zdefiniowanym przez standard POSIX kalkulatorem o składni podobnej do tej z języka C. Można w nim (między innymi) w łatwy sposób konwertować wartości pomiędzy różnymi radiksami:
  obase=2
  ibase=16
  F43.12E
  111101000011.0001001010
Uwaga, jeśli zmienimy ibase (input base) to **wszystkie** wpisywane liczby będą interpretowane w tym radiksie. Oto przykład:
  ibase=2
  obase=10
  1001
  1001
($10_2$ == $2_{10}$). Cyfry heksadecymalne muszą być wielkimi literami (małe litery to zmienne).

===== Zadanie 1. =====
|^ radix 2 ^ radix 10 ^ radix 16 ^|
| 10'1111.0(1001) | 47.3 | 2F.4(C) |
| 1111'0011'1110'0100'.0101'0001 | 62436.62890625 | F3E4.A1 |
| 10'0110.1011 | 38.6875 | 26.B|


===== Zadanie 2. =====
  *Zadanie sprowadza się do tego: skończona suma wyrażeń postaci $2^{-n}$ ma skończone rozwinięcie dziesiętne.
  *Suma takich wyrażeń da się zapisać jako ułamek o podstawie będącej potęgą dwójki: $2^m$.
  *Ułamki postaci $l/(10^k)$ mają skończone rozwinięcie dziesiętne.
  *Przemnóżmy przeto licznik i mianownik naszej sumy przez $5^m$.
Matematycznie:\\
Część całkowita zawsze wyraża się skończoną liczbą cyfr. Rozważmy część ułamkową.\\
$0.a_1a_2a_3a_4...a_n = \sum_{i=1}^n2^{-i}a_i = \sum_{i=1}^n2^{-i}5^{-i}5^ia_i = \sum_{i=1}^n10^{-i} 5^i a_i = \sum_{i=1}^n \frac{5^i a_i}{10^i}$\\
Suma liczb, które w mianowniku mają potęgę 10 ma oczywiście skończone rozwinięcie dziesiętne. To zadanie wyjaśnia również, dlaczego ujemne potęgi dwójki wyglądają jak potęgi piątki (0.5, 0.25, 0.125...)

===== Zadanie 3. =====
  * Trzy najmniejsze wartości:
    *$000'00000 = 2^{-3} * 1 = 0.125$
    *$000'00001 = 2^{-3} * (1+1/32) = 0.12890625$
    *$000'00010 = 2^{-3} * (1+1/16) = 0.1328125$
  * Trzy największe wartości:
    *$111'11111 = 2^{4} * 1.96875 = 31.5$
    *$111'11110 = 2^{4} * 1.93750 = 31$
    *$111'11101 = 2^{4} * 1.90625 = 30.5$
  *$31.5/31 = 1.01612903225806451612$
  *$0.12890625/0.125 = 1.03125$
  *$2^8 = 256$

===== Zadanie 4. =====
  *$1.2 = 011'00110$ 
  *$5.75 = 101'01110$
  011'00110 + 101'01110 = 101'10111
 

===== Zadanie 5. =====
  * Udowodnimy, że nie jest łączne
  * Weźmy:
    *$x = 1_2 = 011'00000$
    *$y = 1.00001_2 = 011'00001$
    *$z = 0.00101_2 = 000'01000$

  * pokażemy że (x+y)+z ≠ x+(y+z)
    *$x+y = 100'00000$    // <-przy dodawaniu mantys (1.0 + 1.0000**1**) ucieliśmy najmniej znaczacy bit, który okazał się rózny od zera//
    *$(x+y)+z = 100'00000 + 000'01000 = 100'00010$  //<- znowu ucieliśmy znaczący bit (przy przesuwaniu (dzieleniu przez $2^4$) mantysy 1.0**1**)//
    *$y+z = 011'00110 $
    *$x+(y+z) = 011'00000 + 011'00110 = 100'00011 $

 

===== Zadanie 6. =====
===== Zadanie 7. =====
===== Zadanie 8. =====
|^ liczba ^ znak ^ wykladnik ^ mantysa ^|
|0.5 | 0 | 126 (-1)| (1)0 |
|-17 | 1 | 127 (0) | (1)0001 |
|-1/32 | 1 | 122 (-5) | (1)0 |
|384 | 0 | 134 (7) | (1)1 |

===== Zadanie 9. =====
  *$A'/A = 0,2228/0,22288 ~ 0,999641$
  *$B'/B = 0,2221/0,22211 ~ 0,999954$
  *$(A' - B')/(A-B) = (0,2228 - 0,2221)/(0,22288 - 0,22211) = 0,0007/0,00077 = 0,90909090...$

===== Zadanie 10. =====
  *$1'0111111'01110000'00000000'00000000_{IBM} = - 16^{63-64} * 0.7_{16} = - 16^{-1} * 7/16 = -7/256$
  *$14.3 = E.4CCCC..._{16} = 1110.010011001100110011_{2} = 16^1 * 0.11100100110011001100110_{2} = 0'0000001'11100100'11001100'11001100_{IBM}$
  *$0'1111111'11111111'11111111'11111111_{IBM} = 16^{127-64} * FFFFFF_{16} = 16^63 * 16777215 = 121416798527102489600204155203283368622156186611384678475703023142582517330754928640$

===== Zadanie 11. =====
  *Mantysa najmniejszej liczby będzie się zaczynała od 001 zamiast 0001.
  *Najwyższa potęga będzie 8^63 a nie 16^63.
  *$16^{63} * FFFFFF_{16} = 121416805764108066932466369176469931665150427440758720078238275608681517825325531136$.
  *$8^{63} *77777777_{8} = 13164036458569648337239753460458804039861886925068638906788872192$.

{{tag>[listy_zadan]}}