====== Analiza numeryczna (M) - Lista 6. ======

{{:analiza_numeryczna:m6.pdf|Rozwiązania różne Edhella z listy 6.}}

===== Zadanie 1. =====

Lemat (zad. 6.1.1 z Kincaida): Jeśli $g$ interpoluje $f$ w $x_0, x_1, \cdots, x_{n-1}$, a $h$ w $x_1, x_2, \cdots, x_n$, to $g(x) + \frac{x_0-x}{x_n-x_0}[g(x)-h(x)]$ interpoluje $f$ we wszystkich wspomnianych węzłach (a te nawiasy kwadratowe to tylko nawiasy, a nie operator).

Lematodowód:
  * $w(x_0) = g(x_0) + 0\cdot [\cdots]$
  * $w(x_1) = g(x_1) + \frac{\cdots}{\cdots}\cdot 0$
  * $w(x_2) = g(x_2) + \frac{\cdots}{\cdots}\cdot 0$
  * $\vdots$
  * $w(x_{n-1}) = g(x_{n-1}) + \frac{\cdots}{\cdots}\cdot 0$
  * $w(x_n) = g(x_n) + \frac{x_0-x_n}{x_n-x_0}[g(x_n)-h(x_n)]=g(x_n)-[g(x_n)-h(x_n)]=h(x_n)$

Dalszy ciąg jest w Kincaidzie pod tw. 6.2.1. Rozpisanie z definicji nieco wyżej podanej, daje jakoś tak:

$\displaystyle \sum_{k=0}^nf[x_0,x_1,\cdots,x_n]\prod_{j=0}^{k-1}(x-x_j)=\sum_{k=1}^nf[x_1,x_2,\cdots,x_n]\prod_{j=1}^{k-1}(x-x_j)+\frac{x-x_n}{x_n-x_0}[\sum_{k=1}^nf[x_1,x_1,\cdots,x_n]\prod_{j=1}^{k-1}(x-x_j)-\sum_{k=0}^{n-1}f[x_0,x_1,\cdots,x_{n-1}]\prod_{j=0}^{k-1}(x-x_j)]$.

Dalej to chyba widać, co jest do wycięcia.

===== Zadanie 2. =====
===== Zadanie 3. =====
===== Zadanie 4. =====
Hmm... ilorazem różnicowyyym?
Tabelka wychodzi taka:
^$x_i$ ^$f(x_i)$ ^    ^   ^    ^   ^
|-2    |  1      | 3  | 2 | -1 | 0 |
|-1    |  4      | 7  | -1| -1 | 0 |
|0     |  11     | 5  | -4| -1 |   |
|1     |  16     | -3 | -7|    |   |
|2     |  13     | -17|   |    |   |
|3     |  -4     |    |   |    |   |
Wielomian interpolacyjny wyjdzie więc postaci: $p(x)=1+3(x+2)+2(x+2)(x+1)-(x+2)(x+1)x$.
No i hmm, chyba nie skłamię, jeśli powiem, że te zera w ostatniej kolumnie mówią, że błąd przybliżenia wynosi 0, więc jest to dokładny wynik, a że akurat wyszedł wielomian III stopnia, to odpowiadamy: TAK!
===== Zadanie 5. =====
===== Zadanie 6. =====
===== Zadanie 7. =====
===== Zadanie 8. =====


{{tag>[listy_zadan]}}