====== Analiza numeryczna (M) - Lista 5. ======
{{:analiza_numeryczna:anum2010_m5.pdf|Lista 5}}
===== Zadanie 1. =====
Z założeń wiemy, że macierz jest nieosobliwa, symetryczna i nie ma zer na przekątnej (bo można zastosować metodę eliminacji bez wyboru elementów głównych)\\ \\
**a)** Indukcyjnie:\\
1) k=1 z założenia działa ($a_{ij}^{(1)}=a_{ji}^{(1)}$)\\
2) k>1 zakładamy, że $a_{ij}^{(k)}=a_{ji}^{(k)}$, dla $i,j=k,k+1,\cdots,n$\\
aby otrzymać macierz $A^{(r+1)}$ z musimy wykonać mnożenie $M^{\left(r\right)}A^{\left(r\right)}$\\
$m_{ij}^{\left(r\right)}=\left\{\begin{matrix}
1 & gdy\ i=j\newline
\frac{-a_{ir}^{\left(r\right)}}{a_{rr}^{\left(r\right)}} & gdy\ j=r\newline
0 & w\ p.p.
\end{matrix}\right.$\\
Z definicji mnożenia macierzy:\\
$a_{ij}^{\left(r+1\right)}=\sum_{k=1}^n m_{ik}^{\left(r\right)}\cdot a_{kj}^{\left(r\right)}$\\
Zauważmy, że w jeśli $i,j\geq r$ to tylko dwa składniki tej sumy są niezerowe:\\
$\sum_{k=1}^n m_{ik}^{\left(r\right)}\cdot a_{kj}^{\left(r\right)}=m_{ir}^{\left(r\right)}\cdot a_{rj}^{\left(r\right)}+a_{ij}^{\left(r\right)}=\frac{-a_{ir}^{\left(r\right)}}{a_{rr}^{\left(r\right)}}\cdot a_{rj}^{\left(r\right)} + a_{ij}^{\left(r\right)}$\\
Teraz popatrzmy na element symetryczny do poprzedniego:
$a_{ji}^{\left(r+1\right)}=\sum_{k=1}^n m_{jk}^{\left(r\right)}\cdot a_{ki}^{\left(r\right)}$\\
Analogicznie jak poprzednio:\\
$\sum_{k=1}^n m_{jk}^{\left(r\right)}\cdot a_{ki}^{\left(r\right)}=m_{jr}^{\left(r\right)}\cdot a_{ri}^{\left(r\right)}+a_{ji}^{\left(r\right)}=\frac{-a_{jr}^{\left(r\right)}}{a_{rr}^{\left(r\right)}}\cdot a_{ri}^{\left(r\right)} + a_{ji}^{\left(r\right)}$\\
Teraz z założenia indukcyjnego dostajemy:
$a_{ij}^{\left(r+1\right)}=\frac{-a_{ir}^{\left(r\right)}}{a_{rr}^{\left(r\right)}}\cdot a_{rj}^{\left(r\right)} + a_{ij}^{\left(r\right)}=\frac{a_{rj}^{\left(r\right)}}{a_{rr}^{\left(r\right)}}\cdot -a_{ir}^{\left(r\right)} + a_{ij}^{\left(r\right)}=\frac{a_{jr}^{\left(r\right)}}{a_{rr}^{\left(r\right)}}\cdot -a_{ri}^{\left(r\right)} + a_{ji}^{\left(r\right)}=a_{ji}^{\left(r+1\right)}$\\
Co powinno zadziałać.\\ \\
**b)** Słownie:\\
Korzystając z tego spostrzeżenia możemy skrócić obliczanie $A^{(r+1)}$ o połowę. Wystarczy, że obliczymy elementy nad przekątną, (oraz na przekątnej). Reszta to albo zera (kolumny $<r$) albo symetryczne kopie elementów nad przekątną.\\ \\
//Uwaga: rozjeżdża się, gdy nie mamy zainstalowanych czcionek jsmath//

===== Zadanie 2. =====
D. Kincaid, W. Chenney, //Analiza Numeryczna//, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2006. **str. 171**

===== Zadanie 3. =====

===== Zadanie 4. =====

===== Zadanie 5. =====

===== Zadanie 6. =====

===== Zadanie 7. =====

===== Zadanie 8. =====

===== Zadanie 9. =====