====== Analiza numeryczna (M) - Lista 4. ======
{{:analiza_numeryczna:10.listaM04.pdf|Lista 4}}.
===== Zadanie 1. =====
Załóżmy b.s.o., że to macierz trójkątna górna.\\

$AB=C$\\

$a_{i,j} = 0$ dla $i>j$\\
$a_{i,j} = a_{i,j}$ w p.p.\\

$b_{i,j} = 0$ dla $i>j$\\
$b_{i,j} = b_{i,j}$ w p.p.\\

$c_{i,j} = \sum_{k=0}^n a_{i,k}b_{k,j}$\\
Rozważmy tylko elementy $i>j$ i sprawdzmy, czy są równe $0$.\\
$c_{i,j} = \sum_{k=0}^i 0\cdot b_{k,j} + \sum_{k=i+1}^n a_{i,k}\cdot 0 = 0$\\
===== Zadanie 2. =====
===== Zadanie 3. =====
Macierz $[x_{i,j}]$ macierz wejściowa ${y_{i,j}}$ wyjściowa, elementy $[y_{i,j}]$ liczymy po kolei dla i=(1,2,3,4, ... n) j=(i,i-1,i-2, ... 1)

$[y_{i,i}]=1/x_{i,i}$



$[y_{i,j}]=(-x_{i,j}/x_{j,j} -\sum_{k=j+i}^{i-1} x_{i,k}\cdot y_{k,j})/x_{i,i}$


==== Wersja Pontona ====

$A \cdot A^{-1} = I$. Macierz $A$ jest trójkątna, więc do obliczania wystarczy tylko zsumować tak: $i_{i,j} = \sum_{k=j}^i x_{i,k} \cdot y_{k,j}$, gdzie $i_{i,j}$ jest elementem macierzy $I$, $x_{i,j}$ -- macierzy $A$, a $y_{i,j}$ -- macierzy $A^{-1}$. Przekształćmy, żeby otrzymać $y_{i,j}$:

$\displaystyle i_{i,j} = \sum_{k=j}^i x_{i,k} \cdot y_{k,j}$

$\displaystyle i_{i,j} = \sum_{k=j}^{i-1} x_{i,k} \cdot y_{k,j} \quad + x_{i,i} \cdot y_{i,j}$

$\displaystyle y_{i,j} = x_{i,i}^{-1} \cdot \left(i_{i,j} - \sum_{k=j}^{i-1} x_{i,k} \cdot y_{k,j} \right)$

Teraz można obliczać $y_{i,j}$ iterując po kolei po $i$, a potem po $j$, podstawiając za $i_{i,j}$ zero lub jeden.

===== Zadanie 4. =====
===== Zadanie 5. =====
wiemy, że:\\
$l_{i,j} = l^T_{j,i}$\\
$a_{i,j} = a_{j,i}$\\
$\displaystyle a_{i,j} = \sum_{k=0}^n l_{i,k}l^T_{k,j} =  \sum_{k=0}^n l_{i,k}l_{j,k} $\\
Czyli w szczególności:\\
$\displaystyle a_{i,i} = \sum_{k=0}^n l_{i,k}^2 = \sum_{k=0}^i l_{i,k}^2 = \sum_{k=0}^{i-1} l_{i,k}^2 + l_{i,i}^2$\\
$l_{i,i} = \sqrt {a_{i,i} - \sum_{k=0}^{i-1} l_{i,k}^2}$\\
Dla $i>j$:\\
$a_{i,j} = \sum_{k=0}^n l_{i,k}l_{j,k} = \sum_{k=0}^j l_{i,k}l_{j,k} = \sum_{k=0}^{j-1} l_{i,k}l_{j,k} + l_{i,j}l_{j,j}$
I z tego juz wynika drugi wzrór.

===== Zadanie 6. =====
===== Zadanie 7. =====
===== Zadanie 8. =====
Doprowadzamy eliminacja macierz do samej przekatnej i wtedy obliczenie wyniku to $n$ dzielen. Wystarczy policzyc ile operacji jest przy doprowadzaniu do diagonali.
Doprowadzenie do schodkowej:\\
$\sum_{k=1}^n k^2$ - w $k$ elementach $k$ wierzszy odejmujemy wartości.
Schodkowa -> diagonalna:\\
$\sum_{k=1}^n k \cdot (n-k)$\\

===== Zadanie 9. =====