====== Analiza numeryczna (M) - Lista 3. ======
{{:analiza_numeryczna:10.listaM03.pdf|Lista 3}}.

===== Zadanie 1. =====
==== Własność I ====

Własność: $x = 0 \Leftrightarrow ||x|| = 0$.
  - $\sum_{i=1}^n |0| = 0$
  - $\sqrt{\sum_{i=1}^n 0^2} = \sqrt{0} = 0$ 
  - $\max_{i=1}^n |0| = 0$

==== Własność II ====

Własność: $||a \cdot x|| = |a| \cdot ||x||$.
  - $||a \cdot x||_1 = \sum_{i=1}^n |a \cdot x_i| = \sum_{i=1}^n |a| \cdot |x_i| = |a| \cdot \sum_{i=1}^n |x_i| = |a| \cdot ||x||_1$
  - $||a \cdot x||_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n a^2 \cdot x_i^2} = \sqrt{a^2 \cdot \sum_{i=1}^n x_i^2} = |a| \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} = |a| \cdot ||x||_2$
  - $||a \cdot x||_3 = \max_{i=1}^n |a| \cdot |x_i| = |a| \cdot \max_{i=1}^n |x_i| = |a| \cdot ||x||_3$
 
==== Własność III ====
Własność: $||x + y|| \leq ||x|| + ||y||$.

  - $||x + y||_1 = \sum^{n}_{i=1} |x_i + y_i| \leq \sum^{n}_{i=1} |x_i| + |y_i| = \sum^{n}_{i=1} |x_i| + \sum^{n}_{i=1} |y_i| = ||x||_1 + ||y||_1 $
  - Skorzystamy z tego, że jeśli $||x + y||^2 \leq \left(||x|| + ||y||\right)^2 $ to $||x + y|| \leq ||x|| + ||y||$. 

$||x + y||^2 = \sum_{i=1}^n (x_i + y_i)^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 + y_i^2 + 2x_iy_i = \sum_{i=1}^n x_i^2 + \sum_{i=1}^n y_i^2 + 2 \sum_{i=1}^n x_iy_i \leq \sum_{i=1}^n x_i^2 + \sum_{i=1}^n y_i^2 + 2 \sqrt{\left(\sum_{i=1}^n x_iy_i\right)^2} \leq$
 
Teraz z twierdzenia Cauchiego ($\left(\sum_{i=1}^n x_iy_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right)$)https://secure.wikimedia.org/wikipedia/en/wiki/Cauchy%E2%80%93Schwarz_inequality :

$\leq \sum_{i=1}^n x_i^2 + \sum_{i=1}^n y_i^2 + 2 \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2 \sum_{i=1}^n y_i^2} = \left(\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} + \sqrt{\sum_{i=1}^n y_i^2}\right)^2 = \left(||x|| + ||y||\right)^2$

===== Zadanie 2. =====
  *a $||x||_{\infty} \leq ||x||_1 \leq n\cdot ||x||_{\infty}$\\
 Element maksymalny jest mniejszy równy sumie elementów (która wlicza element maksymalny), tak samo suma elementów jest mniejsza równa $n$ maksymalnym elementom sumy.
  *b $||x||_{\infty} \leq^{(1)} ||x||_2 \leq^{(2)} \sqrt{n} \cdot ||x||_{\infty}$\\
     *$(1)$ $\max_{1 \leq k \leq n} |x_k| \leq \sqrt{(\max_{1 \leq k \leq n} |x_k| + c)^2}$ dla $c \geq 0$
     *$(2)$ $||x||_2^2 = \sum^{n}_{k=1}x_k^2 \leq |n| \cdot max_{1 \leq k \leq n} |x_k^2|$ podnosimy obustronnie do kwadratu, potem ograniczenie wynika z tego, że $n$ maksymalnych kwadratów elementow jest wieksze lub równe sumie wszystkich kwadratów elementów
  *c $\frac 1 {\sqrt n} ||x||_1 \leq^{(1)} ||x||_2 \leq^{(2)} ||x||_1$ obustronnie dzielimy przez pierwiastek z n, potem [[http://pl.wikipedia.org/wiki/Nier%C3%B3wno%C5%9B%C4%87_Cauchy'ego_o_%C5%9Brednich]]
     *$(1)$ $\frac {\sum_{k=1}^{n} |x_k|} n \leq  \sqrt{\frac {\sum_{k=1}^n x_k^2} n}$
     *$(2)$ $\sum_{k=1}^{n} (x_k\cdot x_k) \leq (\sum_{k=1}^{n} x_k)^2 = \sum_{k=1}^{n} (x_k\cdot x_k) + 2\sum_{1 \leq k \leq n,1 \leq j \leq n, k \neq j}^n x_j \cdot x_k$ obustronnie do kwadratu, zauważamy, żę zbiór składników lewej strony to podzbiór składników prawej strony

===== Zadanie 3. i 4. =====
http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=MN07LAB
===== Zadanie 5. =====
  *a
   $cond(A) = ||A|| \cdot ||A^{-1}|| \geq || A A^{-1}|| = ||1|| = 1$
  *b
   $cond(\alpha A) = ||\alpha A|| \cdot ||(\alpha A)^{-1}|| = |\alpha| \cdot ||A|| \cdot |\alpha^{-1}| \cdot || A^{-1}|| = 1 *||A|| \cdot ||A^{-1}|| = cond(A)$

===== Zadanie 6. =====
Wnioski z zeszłego roku (grupa RNO):
  * Mniej interesujący -- wyznacznik macierzy nie ma nic wspólnego z jej uwarunkowaniem,
  * Bardziej interesujący -- macierz jest źle uwarunkowana...

Jak się w LaTeX pisze macierze?

===== Zadanie 7. =====
<przypomnienie>

$||A||_1$  zwraca nam wiersz macierzy o największej normie, czyli $||r_i||_1$, gdzie $r_i$ to wiersze macierzy $A$.

$||A||_\infty$  zwraca nam kolumnę macierzy o największej normie, czyli $||c_j||_1$, gdzie $c_j$ to kolumny macierzy $A$.

</przypomnienie>

Obliczyć macierz odwrotną $A^{-1} = 
\left[\begin{matrix}
1 \over \epsilon^2 & - \epsilon^2 | \\
{(\epsilon - 1) \over \epsilon^2} & 1  - \epsilon^2 - \epsilon^3
\end{matrix} \right]$.

Gdzie | oznacza nową linię (jsmath nie daje sobie rady z LaTeX-owymi macierzami...)

Obliczamy normy macierzowe:

$||A||_1 = 2+\epsilon$ (norma pierwszego wiersza macierzy $A$)

$||A^{-1}||_1 =\frac {1 - \epsilon + \epsilon^2 - \epsilon_4 - \epsilon_5}{\epsilon^2}$ (norma drugiego wiersza $A_{-1}$)

$||A||_\infty = 2+\epsilon$ (norma drugiej kolumny macierzy $A$)

$||A^{-1}||_\infty = \frac{1-\epsilon}{\epsilon^2}$ (norma drugiego wiersza $A^{-1}$)

I widzimy, że $cond_1(A)$ i $cond_\infty(A)$ lecą w kosmos wraz ze zmniejszaniem się $\epsilon$.