====== Analiza numeryczna (M) - Lista 1. ======
{{:analiza_numeryczna:10.listaM01.pdf|Lista 1}}.

===== Zadanie 1. =====
Załóżmy, że liczba $x$ ma niejednoznaczne przedstawienie w naszej reprezentacji, to znaczy, że istnieją 2 istotnie różne reprezentacje.\\
$\displaystyle s_1 \cdot m_1 \cdot 2^{c_1} = s_2 \cdot m_2 \cdot 2^{c_2}$.\\
$s_1$ i $s_2$ to jedyne czynniki, które mogą być ujemne, więc one determinują znak calej liczby. Nie mogą sie różnić, bo wtedy liczba byłaby jednoczesnie ujemna i dodatnia. Sprzeczność.\\
Mamy więc $s_1 = s_2$.\\
$\displaystyle \frac {m_1} {m_2} = 2^{c_2 - c_1}$\\
Rozważmy przypadki:\\
  *$m_1 = m_2 \rightarrow 1 = 2^{c_2 - c1} \rightarrow c_2 - c_1 = 0 \rightarrow c_1 = c_2$. Sprzeczność, bo reprezentacje są równe.
  *$c_1 = c_2 \rightarrow \frac {m_1} {m_2} = 2^{0} \rightarrow \frac {m_1} {m_2} = 1 \rightarrow m_1 = m_2$. Sprzeczność, bo reprezentacje są równe.
  *$m_1 \neq m_2 \wedge c_1 \neq c_2$ Mantysy są z zakresu [0.5, 1), więc ich maksymalna wartość ich ilorazu to $\frac {1} {0.5}$, a minimalna $\frac {0.5} {1}$( nie osiągają tych ograniczeń, bo jest otwarty przedział). Wyrażenie $2^{c_2 - c1}$ nie ma wartości w tym przedziale, bo albo ma wartości mniejsze od $\frac 1 2$ (przypadek $c_1 > c_2$), albo większe od $2$ (przypadek $c_2 > c_1)$.

===== Zadanie 2. =====
[[analiza_numeryczna:lista2m|Analiza numeryczna 2009 (M) - Lista 2. Zad 1.]]
===== Zadanie 3. =====
[[analiza_numeryczna:lista2m|Analiza numeryczna 2009 (M) - Lista 2. Zad 2.]]
===== Zadanie 4. =====
[[analiza_numeryczna:lista2m|Analiza numeryczna 2009 (M) - Lista 2. Zad 3.]]
===== Zadanie 5. =====
  *(a)
Problem gdy $x$ ujemne.\\
$\displaystyle \frac 1 {\sqrt{x^2+1}+x} =\frac {\sqrt{x^2 + 1}-x} {x^2 + 1 - x^2}=\frac {\sqrt{x^2 + 1}-x} 1 = \sqrt{x^2 + 1}-x$\\
Teraz już nie ma problemu, gdy $x$ ujemne, wzory stosujemy zamiennie zależnie od znaku $x$.
  *(b)
Problem, gdy $\cos^2(x)$ bliski $1$.\\
$\cos^2(x) - 1 = - \sin^2(x)$\\
Teraz już nie ma bliskiego odejmowania.

===== Zadanie 6. =====
Dokładne wyniki:\\
$a_1 = 31.69 \cdot 19.0 = 602.110$\\
$a_2 = 45 \cdot 13.11 = 589.95$\\
$b_1 = 31.69 \cdot 5.89 =186.6541$\\
$b_2 = 14.31 \cdot 13.11 =187.6041$ \\
$a = a_1 - a_2 =12.160 $\\
$b = b_1 - b_2= -0.9500$\\
$y = a / b = -12.8$\\
\\
Wyniki w $t=4$:\\
$a_1 = 31.69 \cdot 19.0 = 602.1$\\
$a_2 = 45 \cdot 13.11 = 590.0$\\
$b_1 = 31.69 \cdot 5.89 =186.7$\\
$b_2 = 14.31 \cdot 13.11 =187.6$ \\
$a = a_1 - a_2 = 12.1$\\
$b = b_1 - b_2= -0.9$ \\
$y = a / b = -13.44$\\
\\
Tracimy dokładność tak bardzo, poprzez bliskie odejmowanie $b_1$ i $b_2$ (błąd względny $5\%$, na samym wyniku tego odejmowania).
===== Zadanie 7. =====
  *(a)
Algorytm:\\
Zaczynamy od kwadratu wpisanego w koło o boku $1$. Kwadrat ma pole 2. Zauważamy, żę możemy podzielić kwadrat na $4$ trójkąty według przekątnych kwadratu. Nasz algorytm chce znajdować przybliżenie figury, która zapełni polem całe koło. W następnym kroku dzieli on kąt (w tym momencie 90deg; pomiędzy przekątnymi kwadratu) na pół, tworząc tworząc $2$ równoramienne trójkąty. Pole takiego trójkątu liczymy ze wzoru $P = 0.5 \cdot a \cdot b \cdot sin(a,b)$. Tu wchodzą nasze zmienne $s_k$, które są przybliżeniem sinusów kolejnych $2$ razy mniejszych kątów (korzystamy z wzoru na sinus połowy kąta). Czyli pole takiego jednego trójkąta w $k$-tym kroku, to $0.5 \cdot s_k$. Teraz w zmiennych $P_{2^k}$ obliczamy pole całej figury, $2^k$ trójkątów o polach $2^{-1}\cdot s_k$ czyli w sumie $s_k \cdot 2^{k-1}$.\\
Wzory z wikipedii na sinus i cosinus połowy kąta:\\
$\displaystyle \sin(\frac \theta 2) = \sqrt{\frac {1 - \cos(\theta)} {2}}$\\
$\displaystyle \cos(\frac \theta 2) = \sqrt{\frac {1 + \cos(\theta)} {2}}$\\
  *(b)
<code>
scale=1000
s2=1
c2=0
s3=sqrt(0.5*(1-c2))
c3=sqrt(0.5*(1+c2)) 
s4=sqrt(0.5*(1-c3))
c4=sqrt(0.5*(1+c3)) 
s5=sqrt(0.5*(1-c4)) 
c5=sqrt(0.5*(1+c4)) 
s6=sqrt(0.5*(1-c5)) 
c6=sqrt(0.5*(1+c5)) 
s7=sqrt(0.5*(1-c6))
c7=sqrt(0.5*(1+c6))
s8=sqrt(0.5*(1-c7))
c8=sqrt(0.5*(1+c7))
p8=2^7 *s8
p8
3.141277250932772868062019770788214408379663262649789129824867044927\
09736158652596149127438022578674388209263785384869616555668049889461\
84585278704511518428811680164363557551530902166131338189142906940778\
93480973561612038255372174392819335511511467089803216041958520386897\
30834987305305767622214615396317069324665347516201800432586812460512\
07486490192205552330719398728339010166008001833883930035588852870710\
19521744029099625902287135548861204054810145482049931356283027779024\
40843443760847377193860905009798698134298507330304241540844004706425\
48829551918708437035308140470158331838452900315154864093040883076105\
92415001965651157406859082468905623440418754722528739308323874076302\
63629570730869795154136105563498014902624436484653850710850250335484\
17393316815925842231808055025332598204635874485130345866443945123684\
16069345632393008242627161180998244292827789150527389836623293292626\
09572670022782052752873282096736756767461754164742790043307103466538\
49946250781517806645611519519106968471444319458944
</code>
wynik przy obliczeniu w t=4:\\
<code>3.135</code>
  *(c)
Problem występuje, gdy kąt jest coraz bliższy zeru, wtedy cosinus rośnie do $1$ i w odejmowaniu, we wzorze na sinus tracimy dokładność:\\
$\displaystyle 1 - \cos = \frac {1 - \cos^2} {1 + \cos} = \frac {\sin^2} {1 + \cos}$.
Teraz już nie ma odejmowania.